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這個問題本身很簡單，大家其實說的也都沒什麼問題，只不過強調的地方不一樣。

1，通常來說，一個物理量有些時候是長成這樣子的： ，它有很多不同的指標，每個指標可能都對應與不同的變換規律，也就對應了不同Lie羣的表示空間。例如最初的Yang-Mills規範場 ，其種指標 對應 的表示空間，按規範羣變換，而 對應洛倫茲羣 的矢量表示 ，按矢量表示的變換規則變換。再比如物理上對粒子的定義，也就是洛倫茲羣的表示(更準確的說法是粒子對應的量子態是洛倫茲羣在表示空間中的一個矢量)： ，其中代表自旋的指標 是按little group變換的，而 則是按洛倫茲羣的矢量表示變換的。

2，也就是說，很多情況下，我們會通過某些Lie羣的表示來定義物理量，既然談到表示空間了，那它們自然就都是矢量了。但習慣上我們不會去叫它們"矢量"，我們會根據不同羣的表示給它們起不同的名字，例如：標量，矢量，旋量，或者規範場。這就好像你男朋友肯定是男生，但你一般絕對不會叫他"男生"，因為"男生"這個屬性太general了，你一般肯定是去叫他名字的。

3，還有些語境裏，我們的矢量空間可能並不來源於任何Lie羣的表示。這時候我們就會叫它們原本的"名字了"。例如廣相里的4速度 是矢量，動量 是1-form， 是張量等等。

4，還有些時候我們可能關注的不是表示空間中的元素，而是表示本身，例如像 這樣的東西。那這些東西當然就沒有矢量空間的結構了。它們一般只有羣結構。

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更新：針對 @YorkYoung 和 @盧健龍 的質疑，為了方便數學家閱讀，改成了數學語言：

我的答案是針對題主的問題的。題主問出這個問題，很大概率是接觸到中學階段物理的「物理量分為標量和矢量」這句話，且題主在問題裏明顯區分了「標量（scalar）」和「矢量（vector）」兩個概念。因此，用數學的語言來說，題主指的vector是定義在四維洛倫茲流形 上點 的切空間 裏的元素，或者說，是 型張量（當然也有可能是非相對論/牛頓時空意義下的三維黎曼流形 ，其中 是歐幾裏得度規），而不是一般意義下vector space裏的元素。該附加結構 的意義在於可根據其構造等距同構（isometry）（如龐加萊羣, ），從而賦予該特定的vector space（ ）上物理討論的價值。物理裡面能夠定義為vector space的東西很多（比如量子力學裡的Hilbert space），但是隻有在上述的意義下（只有在給vector space賦予上述等距同構的意義下），纔有區分討論scalar和vector的意義（從來沒有人在量子力學中把某種scalar置於和Hilbert space state vector同等地位）。

同時，由於任意定義在 上的 維線性空間均可以建立到 的isomorphism，繼而建立到 到homomorphism，因此你當然可以使用任意 型張量構造出一個一維vector space，但是該構造不可能保證上述等距同構，因而失去了本身討論的價值。

在不引起歧義的情況下，一般人討論問題不會用極其明確的數學語言。沒有人會每次談論vector的時候都指明其對應的空間、維數、定義的域等等，但是有時會用習慣用語加以區分。如在量子力學中提到state vector，該state限定詞則指明瞭是Hilbert space裏的vector，因為只有Hilbert space裏的vector可對應physical state；但是說到類似「Angular momentum operator is a vector operator」時，指的就是定義在三維歐幾裏得空間上，把 作為等距同構的vector。這些習慣用法在大多數情況下是清楚的，但是偶爾會引起歧義（比如在1950年之前，包括愛因斯坦在內的很多人針對「溫度是不是scalar」，「壓強是不是scalar」之類的問題進行了很多討論（如很多針對TOV方程的討論），現在我們知道這些討論都沒有意義）。題主的問題嚴格來說是引起歧義的問題，因為並沒有明確規定vector在翻譯成中文的「矢量」的時候一定指的是我上述指明的意義（確實部分中文文獻把Hilbert space裏的元素稱為「態矢量」）；我做出如上判斷至少一部分是基於推斷的：推斷的依據是題主目前可能的知識水平和其區分（且給予同等地位）scalar和vector兩個概念的行為。說到底，該問題引起的主要爭議來自於：1. 什麼是「物理量」（這個問題不具有重要的科學價值）；2. 什麼是題主所言的「矢量」（我已澄清個人觀點）；3. 什麼是不同科學共同體（數學還是物理）所言的「矢量」（我已澄清我所瞭解的物理共同體的觀點）。

另外，我希望在知乎這個社區可以保證友善討論，而不要動輒人身攻擊或者貶低對方的水平。

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原答案：反對本問題下幾個高贊答主的回答。很多答主沒搞清楚幾個問題：

1. 物理裡面說的」矢量「和數學裡按照向量空間所定義的」向量「是不一樣的。數學中自然只需要滿足八條公理就可以定義為向量，但是物理中更多強調的是物理量的分量在（時空）坐標變換下的變換性質。矢量（比如，力）的變換性質自然和很多二階張量（比如，應力張量）是不一樣的，因此物理中談到矢量，一般特指的是類似力（或者在相對論框架下，類似坐標）那樣變換的量，或者用更數學的語言來說就是 型張量。儘管所有 型張量都構成向量空間，但是題主的問題顯然不是這種不做區分的討論，因為題主已經區分了」標量「和」矢量「，而標量自然也滿足向量空間的八條公理，是向量的一種。
2. 物理量一般指的是可以進行物理測量的量。儘管關於可測量和不可測量之間的界限有時候很難明確，但是諸如洛倫茲變換、點、泡利矩陣這種，絕對是不應該考慮為物理量的。他們只是一個物理理論裡面所必要的抽象數學描述，而本身並不與測量直接相關。
3. 諸如溫度、電阻、量子數這種反映局域性質的物理量，其在相對論框架下的定義是它們在局域共動坐標下的測量值，因此它們與」固有時「一樣，屬於根據定義就一定是標量的物理量（所有觀測者都認定某物理量在局域共動坐標下的測量值是不會隨參考系發生變化的）。一個典型的例子是粒子自旋：自旋一定是在粒子自身為靜止的坐標（局域共動坐標）下定義的，因此對於無質量粒子（如光子）不存在這樣一個參考系，自旋的定義沒有意義，而螺度是更好的物理量。

回到題主的問題：簡單來說，作為內稟性質的物理量，除了標量和矢量之外，還有高階張量。

這種原因基於物理學家的一個基本假設（有時候被稱為」幾何觀點「）：我們對物理量的測量不應該依賴於參考系的選擇，因此我測量得到的量應該與參考系無關。標量，矢量和高階張量都是與參考系無關的量（儘管它們的分量可能與參考系相關，但是整體是無關的），因此我們的物理理論必須且只能由這些量構成才能滿足這個假設。當然在科學中一切假設都是可以被討論的，也一直有關於這種」幾何觀點「是不是一定正確的討論，但是就主流認識來說，大家還是傾向於這種觀點的。

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@尋風 和 @天影無名 的說法是不對的。在沒有引入進一步的限制條件的情況下，張量以及旋量等都屬於向量（矢量），因為它們滿足向量的定義，即向量空間的元素。

在定下加法操作（addition）和對應於某個域的標量乘法操作（scalar multiplication）後，一個集合就是向量空間當且僅當其滿足下面這八個公理：

1. 加法結合律（associativity of addition）： ；
2. 加法交換律（commutativity of addition）： ；
3. 存在加法的單位元（identity element）；
4. 存在加法的逆元（inverse elements）；
5. 標量乘法結合律（associativity of scalar multiplication）： ；
6. 關於域加法的標量乘法分配律（distributivity of scalar multiplication with respect to field addition） ： ；
7. 關於向量加法的標量乘法分配律（distributivity of scalar multiplication with respect to vector addition）： ；
8. 存在標量乘法單位元。

另一方面，物理學中確實存在『既不是矢量也不是標量』的物理量（注意『物理量』並不等同於『可觀察量』，一個典型的例子就是電磁4-勢 electromagnetic 4-potential，它顯然是一個物理量，卻並不是可觀察量），這可以通過引入（來自物理意義的）限制條件來實現。一個簡單的例子就是用矩陣表示的用於4-向量的洛倫茲變換。對於這些洛倫茲變換矩陣，我們無法將矩陣乘法作為向量空間的向量加法操作因為前者缺乏交換律，我們也無法將矩陣加法作為向量空間的向量加法操作因為前者在洛倫茲變換的物理意義下缺乏單位元。

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看到一些貌似說物理的矢量和數學的向量不是一回事的回答，還挺多贊的。笑死我了，本來就是翻譯問題，都是vector，還可以自己理解啊，明明自己沒搞清楚代數附加結構，管你什麼SO(3)還是SO(3,1)，沒有內積或者度規這東西哪裡來的？承認自己只是瞭解了向量的某些特例就這麼丟臉。

不要說那麼多，量子力學書中的態矢量是不是向量，有本事把書中寫了vector都懟一遍？別人就是無窮維復內積空間，和歐氏空間閔氏空間當然不一樣，哈密頓力學還有辛空間又怎麼算，承認有附加結構這麼難，比你分那麼多情況容易多了吧。

本來不想懟人，但真看不慣一些學物理的現象，沒錯啥都嚴格按照數學的方法去做物理進步就太難了，但是你別數學家都搞清楚多年的還這裡賴賬好不？數學家說了這就是向量，那這就是向量，物理上有特殊要求就把限定詞加好，不能我們物理只用白馬，就物理的馬都是白的，說不定哪天黑馬就用上了呢？

當然也許就是這樣，「新東西的接受只能等老人全部死光」。

最後我受到某答案啟發，終於發現了一個量，那就是準坐標（舉例角位移），它是準速度實際並不存在的積分，也就是說壓根沒法用數寫出來，自然沒法嵌入歐氏空間中，比流形、仿射空間之類都還強，不過在分析力學中只是個輔助概念，但也聊勝於無了。

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首先反對說有說張量的，因為張量是向量的一種。

向量的定義是在一個域 和一個交換羣 中定義一個數乘運算 ，並滿足若干線性運算規律，這個定義了數乘運算的交換羣就叫線性空間。那麼域中的元素就叫標量，線性空間中的元素就叫向量。

張量是在一個線性空間 和它的對偶空間 上定義的多元線性函數，張量之間也可以進行加法和數乘運算，並滿足線性空間的公理，所以張量就是向量的一種。

由於很多物理量可以只取一個數域的子集，比如通常物質的溫度只能取 ，角動量的分量只能取 ，這些都不構成域，但可以嵌入域中就行。

所以我們要找的東西要嵌入都做不到，比如考慮旋轉，它構成一個非交換的李羣，根本沒法定義加法，只有乘法，似乎就沒法變成向量，但旋轉是可以線性表示的，也就是嵌入到線性變換的代數中去，直觀一點就是旋轉可以寫成矩陣的形式，這樣線性變換本身又是一種向量。

如果你可以說溫度是標量，角動量是向量，憑什麼人家不是向量。

這就麻煩了，這說明這個物理量的運算方式極其複雜，以致於連矩陣都承受不了，比如連結合律都不滿足，我只能說抱歉，我還真沒見過。

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看來還是需要提前說明：題目已經區分了標量和矢量，那自然要區分矢量和張量。如果說矢量也是張量或者張量也是向量，雖然沒錯，但不適合在本問題下討論。

原答案：

從題目「物理量上有沒有既不是矢量也不是標量的？」可以看出，這是一個只知道矢量和標量的人提出的，看問題日誌也知道題主是一個中學生，我想看到這個問題點進來的應該也大多數是類似的讀者，也就是不超過普通大學物理水平，然而目前大多數高贊回答在討論向量空間、量子力學、廣義相對論、羣論等內容，我相信這是連大多數工科大學生都看不懂的。

雖然知乎問題是話題討論，並非只給題主本人解答問題，而是面向所有讀者的，那麼本著對大多數讀者負責的態度，我想寫一個讓大家能看得懂的，水平較低的，科普向回答。

除了標量和矢量以外，還有張量。對於不知道張量是什麼的同學，請看本回答。

提到張量，最常見的就是應力。

物體在外荷載作用下，為什麼不會支離破碎？因為物體內部有內力，就像膠水一樣把物體粘在一起。

外力可以加在一點上，但當我們用一個假想的截面把物體截開，內力是分佈在整個截面上的，總和與外力平衡，而單位面積上的內力，我們稱之為應力。

應力分為兩大類，即與截面垂直的正應力σ，和與截面相切的剪應力τ。

這時候，一個截面上的應力類似於矢量，材料力學課本上也是這樣介紹的

在y方向的兩個截面方向上，我們取無窮小的微面積，這上邊的內力就是截面上這一點的應力。

不失一般性地，我們寫成x、y、z三個方向的分量，也就是 ，這三個分量是標量，由牛頓第三定律可知，正負兩個截面上的應力是等大反向的。

然而這並不是應力的真實面貌。

既然在y方向的截面上有應力，會產生三個應力，那如果我們不是左右切開，而是上下切，前後切，那在同一點上，我們也可以寫出x方向和z方向截面的應力，同樣也是每個截面上三個應力分量。類似與剛才我們用無窮小的微面積代表截面上一點，現在我們用無窮小的微立方體，代表物體內部一點，立方體的每個面代表同一點的不同方向。這時候一個下角標已經不夠了，我們用兩個下角標來寫應力：

這9個應力分量，同屬於一個點的應力，這時候應該已經不能算一個矢量了，因為空間矢量只有3個分量。那這跟3個矢量有區別嗎？當然是有的，張量作為一個整體有不變性。

對於矢量我們有這樣的認識，一個力 ，在不同的坐標系中，都可以分解成三個分量。坐標系不同，3個分量寫出來自然不同，但是力還是那個力，它本身是不變的，也就是力的作用效果是一樣的。

而且我們總能找到一個垂直於F的平面，當以這個平面和法向量作為坐標系時，一個分量的大小就等於F，另外兩個分量為0，而且這個F與任意坐標系下的分量有這樣的關係

張量也有不變性，如果你換一個坐標系，截面方向發生變化，寫出來9個分量自然是不一樣的，但這一點的應力狀態不會發生改變，物體內部某點是否發生破壞直接和該點的應力狀態有關。

對於一點的應力狀態，我們也可以旋轉坐標系，使三個面上只有正應力，沒有剪應力，這時候三個正應力稱為主應力，從大到小分別為 ，這個方向也稱之為主方向。主應力與任意坐標系下的應力分量也是有對應關係的，只不過稍微複雜一點，三個主應力是這個方程的三個實根

其中係數是三個應力不變數

需要注意的是，張量並不是三個矢量。張量的9個分量，矢量的3個分量，都是標量。一個力可以寫成 ，而不是 ，張量的三個主應力也不能看成合力 ，而應該寫成

對於標量、矢量、向量，我們可以看到他們有很多對應關係。

在三維空間中，張量有9個分量，矢量有3個分量，標量就1個。

標量就是一個數

矢量可以寫成一個向量

張量可以寫成一個矩陣

其實，上面說的張量是二階張量，而矢量其實就是一階張量，而標量就是零階張量。

當然還有高階張量，如果是三階張量的就沒法用這麼直觀的方法寫出來了，因為需要再加一個維度。

標量的計算，大家都知道，加(減)乘(除)，有交換律、分配律、結合律。

矢量的計算，加是各分量相加，乘又分為數乘、點乘（如做功）、叉乘（如力矩），其中叉乘不滿足交換律。

張量的計算，加還是分量相加，乘法也有數乘、點乘、叉乘、雙點乘、雙叉乘等等，點乘和叉乘都不滿足交換律。

矢量和張量還有更多複雜的運算方法，如指標運算等不做介紹了。

以上內容只涉及大學工科基本的力學知識，張量也僅從應力的角度介紹最最基本的性質，希望可以讓大家對張量有一個基本的感性認識。

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