皮亞諾公理中的「0 是自然數」是在定義 0，還是在定義自然數？

如果是用 0 去定義自然數，那麼怎麼定義 0 呢？
如果是用自然數去定義 0，那麼怎麼定義自然數呢？
就是說，我認為數學上，「定義」這個行為需遵循的原則是：只能用已定義的概念去定義未定義的概念。然而「0 是自然數」這一條公理包含了兩個未定義的概念，即「0」和「自然數」，那麼不管用誰去定義誰都是違反這個原則的。
我對這條公理的理解是不是哪裡出現了錯誤？

這不是單純的數學問題，可以拓展到一般的語言操作上。問題的癥結在於：

我認為數學上，「定義」這個行為需遵循的原則是：只能用已定義的概念去定義未定義的概念。

201. Unser Paradox war dies: eine Regel k?nnte keine Handlungsweise bestimmen, da jede Handlungsweise mit der Regel in übereinstimmung zu bringen sei. Die Antwort war: Ist jede mit der Regel in übereinstimmung zu bringen, dann auch zum Widerspruch. Daher g?be es hier weder übereinstimmung noch Widerspruch.
Da? da ein Mi?verst?ndnis ist, zeigt sich schon darin, da? wir in diesem Gedankengang Deutung hinter Deutung setzen; als beruhige uns eine jede wenigstens für einen Augenblick, bis wir an eine Deutung denken, die wieder hinter dieser liegt. Dadurch zeigen wir n?mlich, da? es eine Auffassung einer Regel gibt, die nicht eine Deutung ist; sondern sich, von Fall zu Fall der Anwendung, in dem ?u?ert, was wir "der Regel folgen", und was wir "ihr entgegenhandeln" nennen. Darum besteht eine Neigung, zu sagen: jedes Handeln nach der Regel sei ein Deuten. "Deuten" aber sollte man nur nennen: einen Ausdruck der Regel durch einen anderen ersetzen.

This was our paradox: no course of action could be determined by a rule, because every course of action can be [brought into accord with/made out to accord with] the rule. The answer was: if every course of action can be brought into accord with the rule, then it can also be brought into con?ict with it. And so there would be neither accord nor con?ict here.

That there is a misunderstanding here is shown by the mere fact that in this chain of reasoning we place one interpretation behind another, as if each one contented us at least for a moment, until we thought of yet another lying/standing behind it.

[ For what we thereby show is that there is a way of grasping a rule which is not an interpretation, but which, from case to case of application, is exhibited in what we call "following the rule" and "going against it". / What this shews is that there is a way of grasping a rule which is not an interpretation, but which is exhibited in what we call "obeying the rule" and "going against it" in actual cases. ]

Thats why there is an inclination to say: every action according to a rule is an interpretation. But one should speak of interpretation only when one expression of a rule is substituted for another.

241. "So sagst du also, da? die übereinstimmung der Menschen entscheide, was richtig und was falsch ist?" — Richtig und falsch ist, was Menschen sagen; und in der Sprache stimmen die Menschen überein. Dies ist keine übereinstimmung der Meinungen, sondern der Lebensform.

"So you are saying that the argreement/consensus of human decides/settles what is true and what is false?"— [ What is true or false is what human beings say; and it is in their language that humane beings agrees. / lt is what human beings say that is true and false; and they agree in the language they use. ] This is agreement not in opinions, but rather in form of life.

242. Zur Verst?ndigung durch die Sprache geh?rt nicht nur eine übereinstimmung in den De?nitionen, sondern (so seltsam dies klingen mag) eine übereinstimmung in den Urteilen. Dies scheint die Logik aufzuheben; hebt sie aber nicht auf. — Eines ist, die Me?methode zu beschreiben, ein Anderes, Messungsergebnisse zu ?nden und auszusprechen. Aber was wir "messen" nennen, ist auch durch eine gewisse Konstanz der Messungsergebnisse bestimmt.

[ It is not only agreement in de?nitions, but also (odd as it may sound) agreement in judgements that is required for communication by means of language. / If language is to be a means of communication there must be agreement not only in definitions but also (queer as this may sound) in judgments. ] This seems to abolish logic, but does not do so. — It is one thing to describe methods of measurement, and another to obtain and state results of measurement. But what we call "measuring" is in part determined by a certain constancy in results of measurement.

正如前述引文所說的那樣，並不是所有的遵守規則都需要解釋，並不是所有（作為解釋的、非循環的）定義都能繼續下去。

自然數的 Peano 式定義（以下如無特殊聲明，「自然數的定義」均指 Peano 式定義）是一套規則。當然，我可以通過定義解釋一些東西，但是無論是定義也好，解釋也罷，是有極限的。當我解釋自然數的定義的時候，我不是再在定義什麼，而你理解我的解釋的時候，或許會有一種翻譯的過程，但是到了最後，並沒有更進一步的解釋，而只能是遵守不遵守的問題。

定義試圖達到的嚴格是非常脆弱的，這種脆弱性體現在我們不可能不循環地定義字典上的所有詞。即便跳出字典。使用指物定義的方式，我們也不可避免地會遇到這樣地問題：

我指著一個藍色的花瓶說「一個」
我指著一個藍色的花瓶說「藍色」
我指著一個藍色的花瓶說「花瓶」
我指著一個藍色的花瓶說「陶瓷」
我指著一個藍色的花瓶說「非生物」

字典定義失敗了，於是我們試圖越過字典，直接將語言和世界聯繫在一起，但是所指的不明確性導致我們沒有辦法用嚴格的方式進行聯繫——難道我要再給指物定義一種定義？

這並不是說基於 ostensive learning 的教學方式會失敗。但是這裡顯然除了單純的經驗輸入之外，我們還依賴於一些別的東西，比如說，我們期望小孩能從我們指向不同藍色的對象，並且說出「藍色」這個詞的反覆訓練中，形成一種「藍色」和藍色的東西的聯繫，最終抽象成一種對於顏色的理解，顯然，如果這個小孩天生是盲的，那麼這種訓練就不再可能。有些作為基底的東西不是一種可以定義或者可以教的東西。我們期待孩子被這樣訓練之後能正常學會語言，但是我們不能保證成效。

語言教學本身是和環境相關的，教育的內容不僅僅是語言，還包括了道德、規則，而環境中包括的東西有獎勵、懲罰、榮譽等等。而到了一定程度之後，我們可以直接地談論把握和理解，但是，即便這種把握和理解本身不依賴於具體的獎勵，比如說很多人不需要獎勵就會去學一個新的東西，但是建基於其上的那些東西，比如說能夠讀懂教材的能力，這些都是不能被定義的東西。事實上，我們是先理解了自然數，纔有可能理解自然數的 Peano 公理系統。很難想像一個小孩一開始就理解 Peano 公理系統，又或者說，即便他理解了這個系統（雖然我們根本不知道這是什麼意思），我們也難以想像他理解的自然數和我們理解的自然數是同一回事。

對於自然數的定義，可以簡單地解釋一下。

從一階邏輯模型論的角度來說，我們可以沒有任何非邏輯符號。

所謂的邏輯符號，就是這些東西（其實這裡 übereinstimmung in den Urteilen 已經體現出來了：顯然你不會認為我上面打的省略號是邏輯符號，類似地，你自動地將逗號理解成了分割符。而即便你需要我解釋或者澄清，我一般到此為止也就夠了，幾乎不需要再去解釋什麼是省略，什麼是分割，反過來，如果一個人實在是太缺乏常識，那麼的確解釋和定義都是不可能的事情）

而數學中常見的數字（）、運算元（）、關係符號（）都是非邏輯符號，對於不同的數學系統它們的解釋可以不同，甚至根本不出現，比如說一般的自然數算術系統中我們可以不定義屬於符號或者絕對值運算。

「0 是自然數」是說，這個符號是一個個體的名字，而不是一個函數或者關係的名字。換而言之，這個地方決定了自然數論域不能是空的，裡面至少有一個對象作為符號 0 的所指。也就是數學對象自然數零。

公理系統的給出是一個整體性的過程。同樣地，另一個系統下我也可以有 0，甚至我依然可以沿用「自然數」這個名字，並且保留「0 是自然數」這條公理。但是隻要去掉「0 不是任何自然數的後繼」，就可以得到另一個東西，此時我們得到的東西雖然依然叫做自然數，但是名字和所指是不同的，畢竟張偉有多麼多個。

另一個需要注意的事情是，這個地方的「自然數」本質上來說並不是傳統數學意義上的自然數，畢竟絕大多數人在思考自然數的時候不會以後繼作為自然數的核心，至於這個核心是什麼我也不知道。當我們給出自然數系統的 Peano 式定義的時候，這個系統其實是一個新的，獨立的系統，只不過這個地方挑選出來的模型和傳統使用的自然數是相同的而已。這種相同可以用另一種方式去理解，傳統人們談論自然數的時候，用一套模糊的規則框定出來了一個討論的對象，但是這個對象並不是唯一的，一個最簡單的例子就是，當我們說「只有一個元素的羣只有一個」的時候，我們說的是在羣同構的意義上，這些羣都是相互同構的。但是一旦我們考慮到我們可以將任何一個實數看作是單位元，而將二元運算元解讀成投影運算元（隨便你投影到第一個元還是第二個元上，因為論域中只有一個元素的時候，我們只可能有 (a,a) 這樣的輸入），那麼顯然，只含有一個元素的羣實際上有無窮多個，而不難想像，這裡的無窮不是簡單的不可數無窮，而是超越了集合個數的無窮。

類似地，自然數的公理系統可以刻畫很多具有自然數結構的東西，比如說我們依舊讓 0 是 0，但是把 S 運算元解釋成 -1 或者 +2，於是我們就得到了一個和自然數不同，但是同構的東西。顯然它也滿足自然數的所有公理。注意了，此時的自然數的所指自然也變化了，分別是 0,-1,-2,… 和 0,2,4,…

最硬核的例子來源於複數的引入：請問你怎麼知道 i 指的不是 -i。——這是原則上不可能回答的問題。

這種把符號和數學實在區分開來的做法雖然會讓很多人不喜歡，但是這有助於我們粗糙地看出一些問題來：也就是，所謂的定義和公理化，本質上都不是去刻畫數學對象的本質，而是去給出一套概括，讓我們忽略掉實際上選擇的是哪些數學對象。從這個意義上來說，數學定義並不是精細化，而是概括，我們有時候不是為了看到更多細節，而是為了忽略掉那些不重要的細節。但是這到底是不是好事情呢？我覺得是。細節讓人眼花繚亂，代碼讓人頭疼，演算法和抽象更加便於理解和移植。數學的本質不在於把話說清楚，而在於把抽象的結構統一出來。

從這個意義上來說，數學不是描述數學對象的學科，或者說，根本沒有單獨的數學對象這一回事。所有的數學對象都是數學結構類中的對象。離開了結構，對象就什麼都不是。而只要滿足了結構，什麼都可以是這個類中的對象。

都不是定義只是表示一個子集關係

這句話的英文版如下

0 is a natural number.

中文的"是"在"0是自然數"裏理解為"屬於"

上面回答寫得太複雜了，好一些還是答非所問。

其實是這樣的，先聲明存在一個集合，給這個集合命名「自然數集」（你也可以叫他玫瑰花集或飛鳥集，其實名字無所謂）

然後存在一個東西，叫做0（你也可以叫他橘子，蘋果或者隨便什麼），這個東西在那個集合裏，然後我們給任何一個屬於這個集合的元素一個統一的名字——自然數（或者玫瑰花或夜鶯或者隨便什麼）。

其實問題就在於原文表述不明。

定義的是自然數，並且沒有循環定義

不過順便說一句，「用已定義的概念定義未定義的概念」這句話不完全正確，集合是一個不定義的概念。

實際上定義的不是平時說的0，而是說存在一個元素，我們姑且把它記為0，這個元素滿足一些性質。