謝謝啦

餘切函數的展開式真的太香了！！

[公式]

令 [公式] ，得 [公式] 。根據 [公式] ，得到：

[公式]

兩側同時加一，得： [公式]

考慮利用雙曲正弦的無窮乘積展開式 [公式] 取絕對值，得 [公式] 只要 [公式] 可以兩邊再取對數，得 [公式] 兩邊同時求導，得 [公式] 這就將雙曲正切函數展成了級數形式。命 [公式] 代入，即得 [公式] 於是 [公式] 進而求得 [公式]

文末有四個更一般的常見級數哦~

方法一：利用 [公式] 分式級數展開

詳見予一人大佬回答。

註： [公式] 的無窮乘積展開可用Weierstrass定理。

方法二：留數大法

令 [公式] ，構造正方形圍道：

N為正整數

他在全平面的奇點為 [公式] 以及 [公式]

下面計算留數：

[公式]

[公式]

由留數定理：

[公式]

令 [公式] ，上式變為：

[公式]

即 [公式]

所以： [公式]

相應的，我們也就算出了這個積分：

[公式]

下面是四個更一般的級數，讀者自證不難：

[公式]

[公式]

[公式]

[公式]

[公式] 是個好東西，因為它在整數處的留數都是1。那麼我們只需要構造 [公式] ，然後構造合適的圍道： [公式] 和 [公式] 圍成的正方形。這個積分結果當n趨向於無窮時趨向於0，但是它除了我們想要的留數 [公式] 之外還有 [公式] 處的兩個極點，留數都是 [公式] ，因此 [公式] ，所以你要求的 [公式]

留數定理，考慮函數 [公式] 的積分。

雙休日寫，別和我搶（傲嬌臉

別的答主們都用的餘切，或者留數的方法。其實也可以用傅裏葉級數。

設 [公式] ，考慮函數 [公式] 在區間 [公式] 上的傅裏葉展開：

[公式] ，

[公式] ，

[公式] .

因為 [公式] 在區間 [公式] 上是可微的，所以其傅裏葉級數收斂於自身：

[公式] ， [公式] .

當 [公式] 時，右端級數收斂於 [公式] ，即

[公式] ，所以

[公式]

注1. 在上式右端令 [公式] ，極限正是 [公式] .

注2. 在傅裏葉展開式中令 [公式] ，得到 [公式] .

結果貌似差不多，後面幾位小數略有點誤差。

可不可以提一個n分之一出來，用黎曼積分來積出來

已經有人問過了：

如何求得 Σ1/(n2+a2) (from 1 to infinity) 的值？?

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我推薦留數定理法：

紅葉莫題詩：如何求得 Σ1/(n2+a2) (from 1 to infinity) 的值？?

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