豎直放置的均勻木棒倒下所需時間怎麼算？
我覺得之前肯定有大佬回答過，但是搜不到。大佬們給個鏈接也可以。
經 @Huxley 提示，把全部都修改了。希望不要再出問題…
這個題目很不完整啊…
這個木棒與地面的約束條件是怎樣的呢？固定並可自由轉動？還是可水平方向移動的？
如果是前者的話，就是一個數學擺，沒什麼好說的，甚至在微分方程的書籍裡面會作為經典的例題…如果是後者的話，木棍與地面是否有摩擦？
我想，相比於固定的擺，更感興趣的是類似於一桿筆豎起來，給一個微擾，然後自由掉落的過程吧。
不過需要注意的是，這個微擾是一個必需的條件，它必須被列入初值條件內。如果不給一點動能（推一下）；或者不給一點角度（稍微放斜一點），那麼這根桿是不會倒下去的。這也很符合生活直覺。
在這裡就簡化成有一個初始角度好了。為簡化，也假定地面光滑好了。
木棒質量 ，長
，
時木棒與豎直方向初始角度為
。
時刻木棒與豎直方向夾角為
。機械能守恆有：
在木棒與地面接觸點，豎直方向速度為零：
代入，消掉 有：
由於 ，於是右邊可放心開方。可以判斷角度越來越大，因此有
。於是：
做時間從 到
，角度
從
到
的積分，有：
很遺憾的是，右邊的積分是沒有初等表達式的。當 時，自然應該是不收斂的（經過無窮時間也不會掉下來），而
為一有限值時應當是收斂的（有限時間內能掉下來）。考察函數：
這個函數是比較好作圖的：
的確對初值條件的 很敏感：
時函數值為
；
時函數值為
；
時函數值為
等等。
不過這個似乎有點像與 的對數呈線性關係的樣子…
算了…不寫那麼多了，寫得多錯的多，不懂近似，兩個參數更不懂分析了。
給一個「猜」得的結果吧：
時函數值約等於：
這個近似公式在 這一數量級的時候僅有
的誤差，但在
這一數量級的時候就有
的誤差了，越往上誤差越大…實際上這個誤差估計應該是小→大→小的…
實際上也可以通過構造達到越往上近似越好的函數…不過都有兩個參數了，大象畫不成一個象腿還是可以的…
就這樣吧/逃
下面先討論了地面足夠粗糙，桿下端沒有發生相對滑動的情況，後面又更新了地面光滑的情況。
設桿質量為m，長度為l，重力加速度為g，某時刻與豎直方向呈θ角，角速度為ω，
根據動能定理，可得：
得出一階微分方程：
其中 為微小擾動造成的角位移. 對
展開，
這樣微分方程就存在解析解了，先利用半形公式化簡，
兩邊同乘以 ,左邊
右邊
微分方程變為
設 時刻θ為90度，兩邊同時從0時刻到
時刻積分，經化簡得
可以再做一點近似
更新一種更優的解法.
把(1)式直接對 展開，得
同乘以 ，
即
從0時刻到 時刻積分，
第二種解法的答案看起來比第一個解法長，之所以仍然稱它為更優的解法，是因為它只做了一次展開，近似程度更高，並且答案的對稱性也更強了。
下面更新另一種情況. 上面考慮的情況地面足夠粗糙，桿只存在轉動，下面考慮地面光滑的情況。地面光滑時，桿水平方向不受外力，故質心的水平位置不改變，桿在繞質心轉動的同時向下加速運動. 先來列微分方程（下面的微分方程和上面都是用動能定理來列的，如果用牛頓第二定律加上轉動定理來列，方程是二階的，這樣方程要先降階，降階後的結果就是動能定理的結果，所以直接用動能定理列方程更方便.）
物體的動能有兩部分：轉動動能，平動動能
轉動動能：
平動動能：先來求質心速度v，這裡涉及牽連速度問題，桿下端速度和質心速度在沿桿方向的分量相等，桿下端速度在沿垂直桿方向的速度為 ,
即 ，
平動動能為
動能定理：
即
方程過於複雜，有空再來處理.
昨天通過與 @秋分丿 的討論，弄清楚一個問題，就是：初始擾動動能和初始擾動角，只須有其一，問題即可成立（即時間積分收斂）。若只存在擾動動能，時間積分為正常積分。若只存在初始擾動角，則導致一個瑕積分：
其收斂性證明如下。對於 ,先給出估算：
於是：
可見時間積分收斂。上述過程同時給出了一個上界估計：
雖然不那麼準確，但也聊勝於無了：）
其實前幾天就寫了，不過結果是發散的，擔心錯了不敢發出來
不過看到其他人都得到了這個答案，就鬥膽發一下吧
設木棒可以無摩擦地自由滑動
質量為 ，長度為
，倒下時不會脫離地面（其實可以證明，就不單獨寫出來了）
那麼在它的傾角（指與豎直方向的夾角）為 時，質心的高度為
兩側對 求導，得到
（負號表示方向 在減小，或者說速度方向豎直向下，以防萬一提一嘴）
因為木棒在水平方向不受力，有
接下來上機械能守恆：
眾所周知
根據上面的分析：
那麼把所有東西丟到一起就可以得到
再然後就到了最後一步：
把正弦函數換成餘弦函數，並令
(於是 )
上式就變成了
但是不難發現極限 在
時才存在，換言之積分是發散的
具體結果極大程度上取決於微擾的程度，就參考別的解答吧
嘛，接下來我也寫一寫帶摩擦力的情況好了，再設地面與木棒的靜摩擦因數為 ，同時假定動摩擦因數等於靜摩擦因數
先考慮滑動之前的情況，是一個簡單的定軸轉動：
直接上機械能守恆：
注意這裡轉軸是木棒與地面的接觸點，應該有
於是
把木棒與地面開始相對滑動時的傾角記作 ，故技重施一次得到
聯繫一下上面的內容，不難看出它仍然是發散的，就不對此進一步討論了，你可以把下限換成一個自己喜歡的初值。接下來計算
不難想像：靜摩擦力一定要與木棒成鈍角，以提供質心做圓周運動的向心力
因此對木棒的切向和法向列的方程應該如下：
加之以轉動定律
搗鼓搗鼓得到：
因為我沒有畫圖建立坐標系，負號的含義並不好解釋，總之它只代表方向
恰好發生滑動時有 ，化簡一下可以得到
有解析解麼？大概是有的，把它用萬能公式展開可以得到一個四次方程，還是算了吧...
另一方面，用Geogebra畫一下 的圖像可以發現，若
則木棒不會發生滑動，而若
小於這個範圍(當然要大於零)，都能取得合理的解
那麼接下來我們又碰了個釘子，總之由上式肯定能確定出合理的 ，在此就假定這個問題已經得到解決了
之後的過程我可能不會，或者只是因為現在好晚而懶得想，就先咕了。等我什麼時候去翻翻書勤動腦吧
同志，這個桌面光滑嗎？
好吧我們認為它光滑。顯然木棒僅受保守力，那麼這個時候就可以使用我們小學二年級學過的。。。。。。哎！對！拉格朗日方程啊！
首先確定廣義坐標，顯然在這個問題裏角度是一個非常不錯的選擇，那麼記木棒與鉛垂線方向的夾角為θ咯。下面就來表示我們的動能和勢能吧！
動能顯然是由平動動能和轉動動能組成的，轉動動能很好表達，直接就是
平動動能我們用運動中的限制條件，稍微操作一下也能得到
所以總動能自然就是
顯然這裡的勢能只包含重力勢能，而且也很容易表示：
那麼我們的拉格朗日量就是
接下來列出拉格朗日方程
一通計算猛如虎，發現非常的AMAZING啊居然有東西可以消掉。這是化簡後的結果
接著我們將我們在學前班就學過的轉動慣量帶進去，該約的約掉，得到
也就是
這樣我們就得到這個木棒的運動方程了！不好意思我不會解，可以交給電腦算一算。接下來有時間我會試著解一下有摩擦的過程，解出來再更吧。
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