所有的素數按出現的次序排成一個小數，這個小數是否為無理數？

所有的素數按出現的次序排成一個小數，這個小數是否為無理數？個人覺得應該是無理數，那麼它是不是超越數呢？

按我的理解，題主的意思是問這個數是不是無理數：0.235711131719……

答案：是。

證明：反證法，假設這是一個有理數，顯然不是有限小數，所以它在有限位數之後進入循環，設循環節為n位，進入循環部分的第一個素數有m位。取大於m的第一個n的倍數（至少2倍）為kn。

而任意正整數n，[n,2n]上必有素數（這個定理叫Bertrand假設）。於是，10^(kn-1)到2*10^(kn-1)上有素數，從中任取一個。這個素數長kn位，記作p。

p一定在循環部分。於是p的kn個數碼是把循環節重複了k次。於是p=AB，其中A是n位的循環節，B=100..00100..001...001，其中k個1，相鄰兩個1之間有n-1個0。

p是素數，所以A=1，循環節是00...001，所以任何循環部分的素數都只由數碼0和1構成。

但是2*10^(kn-1)到4*10^(kn-1)上有素數，它在循環部分，它的首位數碼是2或3。矛盾。

所以反設錯誤，題主所給的數是無理數。

完啦！

是不是超越數我不知道。

Dirichlet定理的簡單推論了：形如……0001的質數可以有任意多個0，所以不含任何有限循環節。

超越性比較難證，題主查一下相關文獻吧

這個是Copeland–Erd?s constant。是無理數和正規數，但是是否是超越數似乎還沒被證過。

相關論文：

https://www.ams.org/journals/bull/1946-52-10/S0002-9904-1946-08657-7/home.html

c=0.2357111317192329....

證明：c為無理數

我們使用反證法：

若c為有理數，則c必然在小數點後有限位數碼後開始循環

引理：由於10^n和10^（n+1）間必存在素數，可知必然存在任意位數的素數。（此引理是n到2n間必有素數的弱化形式，使用並不複雜解析數論可以簡明的證明這個引理，在此略去，因為手機打不出來。）

設c循環節長度為n。取足夠大的k，使有kn位數的素數p的所有數碼全部出現在c的循環部分裏，且滿足k為3的倍數。

由於循環節長度為n，我們容易發現該素數p為【10^n（k-1）+10^n（k-2）+………+10^n +1】的倍數。而又因為k是3的倍數，可知p是3的倍數，且p顯然大於3。這和p是素數矛盾。

Q. E. D.

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碼完發現有個答主和我的證明思路是一樣的。我這個可能稍微簡潔一點點，但是其實也沒有差別orz。

啊啊啊啊我知乎上找個會做的題目容易嘛QwQ

兩相鄰素數的最大間距能夠多大？