如何解釋一個點集拓撲裏包含兩個互補的子集，他們既滿足開集的定義又滿足閉集的定義？

比如一個集合{A,B,C,D}, 定義與其相關的一個拓撲T:{{空}，{A,B}，{C,D}，{A,B,C,D}}。我們已知開集的定義是：The sets in T are known as open sets。閉集的定義是：If O is an open set, then its complement O = X-O is called a closed set。所以這裡{A,B},{C,D} 既都滿足開集的定義，又都滿足閉集的定義. 這該怎麼解釋呢？望不吝賜教，謝謝！

一個子集是開集還是閉集要看你給定的拓撲是什麼。比如說，我們考慮離散拓撲空間的話，他裡面的任何子集都是既開又閉的.

這裡要注意的是閉集是靠開集來定義的，我們說A是閉集當且僅當他的餘集是開集。我們並沒有說不是開集就是閉集。這是要特別注意的。

存在一對非平凡的互補的既開又閉的子集，等價於存在一既開又閉的非空真子集，等價於該拓撲空間可分解為兩無交開集之並，等價於該拓撲空間不連通。不連通，不連通，不連通。所以還要什麼解釋。

不要因為見多了開區間閉區間就認為一個集合是開集就不能是閉集。事實上在離散拓撲中甚至所有集合都既開又閉

因為{A,B}的補是{C,D},而{C,D}是拓撲空間的成員(所以是開集)，{A,B}的補是開集，所以{A,B}是閉集，又因{A,B}是拓撲空間的成員，所以{A,B}又是開集，這樣{A,B}是既開又閉的，其他三個同理

這不是很正常嗎

我有個不成熟的見解和你分享一下。

在數軸上你把所有的閉區間指定為開集，然後做一個拓撲出來，你會看見開區間也是開集。如果我沒算錯的話，這個拓撲裡面好像所有的區間都是又開又閉。

然後你再把所有的開區間指定為開集，然後做一個拓撲出來，如果我沒算錯的話閉區間就不是開集了。

我覺得這就是不同拓撲有不同性質，有的拓撲結構就是有所有集都是既開又閉的性質。

如果有說的不對的萬望指正。