目前一個比較 naive 的想法是低能體系裏人們更關注各種統計量，研究哈密頓的對稱性有助於我們研究能譜並拿到配分函數，而在高能物理中人們更想從拉氏量的對稱性直接得到守恆定律和守恆量（而且高能中人們更關注作用量的洛倫茲不變性）。

然後問了認識的朋友，他說可能和歐氏還有閔氏度規下的路徑積分形式有關（這個我不是很懂，如果可能的話想聽一聽詳細的解釋）。

想知道各位大佬們是怎麼想的。

僅就凝聚態物理說說看法。凝聚態物理的低能物理描述也需要用到拉氏量，而且在長波低能極限下拉氏量更重要。

陳夢南舉的例子（或者說笑話）很能說明問題。

量子場論中的拉氏量通常配合泛函路徑積分使用，這可以最好地體現量子力學的非局域性。路徑積分可以很好地刻畫拓撲等整體效應，但是在處理凝聚態物理的局部細節時往往顯得很笨拙。

哈密頓量通常配合海森堡運動方程（或各種對角化）使用，這可以非常直接地體現體系局域相互作用的特點，但是在把握體系的整體性質方面顯得比較無力（比如精確對角化最大隻有幾十個格點，格林函數運動方程通常最多截斷到二階，費曼圖頂角修正只能靠argue等等）

如果體系低能物理中沒有非平庸的整體效應，採用路徑積分還是哈密頓描述沒什麼差異，只是叫法不同，（鞍點近似+高斯展開 / 平均場近似+RPA），但是如果有非平庸的整體效應，那麼路徑積分就更加合適。Zee說C-S作用量的哈密頓量為零，大概想說的就是體系從整體上來看非平庸，但是體系的微觀細節對於這種非平庸性不相關。

不過，沒有Laughlin的變分波函數，光靠量子場論想解決分數量子霍爾效應不說不可能，但至少要晚很多年吧。所以傳統凝聚態方法和場論方法應該看作是從局部和整體這兩個層面把握量子多體系統的互補手段，也可以認為前者主要用於發展定量的微觀理論，後者主要用於構造定性的低能有效理論。

凝聚態物質，在高溫（高能）時，大約幾個eV，會發生分解，所以凝聚態物質的基本構成無非是原子。

原子的物理規律，在光譜學精度內，一般用量子力學即可合理解釋，相對論效應和原子核效應，通過微擾考慮，得到精細結構和超精細結構。

所以凝聚態的核心問題是，如何用已知的原子（單粒子）物理學規律，解釋凝聚態（多粒子）物理學規律（這邊的「多」的意思是阿伏伽德羅常數的數量級，所以凝聚態問題也是一個統計物理學問題）。

考慮到凝聚態實驗的精度，我們構造微觀（原子尺度）模型時，只需要從（多體）薛定諤方程出發，即使考慮重原子，相對論效應也只需考慮自旋軌道耦合，而沒有必要用洛倫茲協變的狄拉克方程（在實驗精度內無法測到極端相對論極限的物理，我們也沒必要自找麻煩，一方面畢竟多體薛定諤方程已經足夠複雜了，另一方面我們的目標是走向低溫（低能），根據重整化羣的思想，高溫（高能）的微觀細節在解釋低能性質的時候有些是irrelevant）。

既然不care洛倫茲協變，那麼我們用非相對論情況的薛定諤方程或海森堡方程，最直接簡單的便是用哈密頓量來處理。

如果只是考慮無相互作用的凝聚態多體問題，那麼用二次量子化表象，哈密頓量下的計算會變得十分簡單（對角化矩陣），在低溫（低能）下我們得到聲子、電子（準粒子）、磁振子等。

如果考慮相互作用，且相互作用微弱，那麼用哈密頓量進行多體微擾雖然繁瑣，但也直觀可行。

但是如果考慮強關聯體系，多體微擾論失效時，一般用路徑積分表象更方便，我們既可以用H-S變換解耦相互作用，得到低能有效理論，也可以將高溫（高能）的自由度積掉，得到重整化羣方程。

在路徑積分表象下，拉氏量更方便（畢竟正則量子化就是把經典哈密頓-雅可比方程裡面的物理量用算符替換，而路徑積分量子化就是把經典的拉氏量做泛函積分）。

既然我們關心的只是凝聚態體系的低溫（低能）性質，那麼我們可以利用體系滿足的對稱性直接構造體系的低能有效理論，比如Landau-Ginzburg或Chern-Simons，這樣的構造比較唯象（都是argue出來的），但是簡單實用。更有意思的是低能下可以演生出洛倫茲對稱性。

其實也可以用微觀的哈密頓量推導出低能有效理論，但是一般推導十分複雜，只有少數簡單情況可以得到，如利用BCS約化哈密頓量得到Ginzburg-Landau理論（Gorkov當初是用格林函數推導的，真是佩服，畢竟現在用路徑積分一頁紙就可以推出來了）。

所以對於凝聚態而言，哈密頓量和拉氏量在使用時是互補的。

本人不是高能專業，下述論斷可能有偏差，如有錯誤，請大佬指正。

高能的核心問題是從高能走向更高能，所以歷史上纔有基本粒子物理學、粒子物理學、高能物理學，畢竟我們對於所謂基本粒子的認識取決於當下的實驗精度。我們現在是無法回答夸克和電子是否是有更「基本」的粒子構成（弦論算嗎？）。

所以高能物理裡面最成功的標準模型，也可看做一個有效理論，畢竟有十多個唯象參數需要實驗輸入。

考慮到能量越高，相對論效應越明顯，而拉氏量可以很方便地融入洛倫茲對稱性，所以在高能物理裏構造有效理論時，用拉氏量顯然是首選。

但是處理強耦合問題，如QCD裡面的夸克問題，我們可以把時空離散化，得到格點規範理論的哈密頓量，方便計算。

所以我們看到高能和凝聚態在處理問題時也是互補的，可以相互借鑒。

兩個最主要的原因：

  1. 」高能場論「非常需要規範對稱性和洛倫茲協變性。前者用路徑積分量子化（BRST形式）最好處理，後者用拉格朗日量也最自然。相比之下，規範場論的正則量子化（約束體系量子化那一套）非常繁雜，而哈密頓形式也破壞了時空對稱性。
  2. 凝聚態裏很多方法依賴量子態，而這時用哈密頓量就最為方便。特別對於非臨界系統，某個能隙的存在往往可以很好得把一部分量子態和另一些「隔離」開來。一個最簡單的例子是強耦合極限下的Hubbard模型，由於在電荷部分存在Mott能隙，我們可以通過Schrieffer-Wolff變換積掉電荷激發、得到專門描述自旋激發的Heisenberg模型。實際上，SW變換雖然也有泛函形式，但基於哈密頓量和量子態的方法還是最自然的。

高能理論中常常需要做規範不變的微擾計算，這兩個要求結合在一起，用正則形式就會很不方便。而凝聚態物理的一個基本問題就是求解系統基態。反過來說，高能理論也有大量使用算符方法的時候，比如共形場論；而凝聚態理論也有喜歡用泛函方法的時候，比如多體計算（動力學平均場論，泛函重整化羣等）。

根據題主的闡述和前兩位答主的討論，我想說一說我的看法。

凝聚態因其所研究的系統的特徵，基本框架是統計力學而非動力學，更加常見的場景是平衡態統計學。因此我們很少需要了解凝聚態系統的動力學演化，而關心平衡態下的「電阻/導率」、「磁導率」、「熱容」等物理量。

不管是高能還是凝聚態，都有從作用量出發的路徑積分、配分函數到觀測量的formalism。但值得注意的是，雖然統計配分函數與QFT配分函數通過Wick rotation相聯繫，但是對應關係是：有限溫度下Minkovski(1，d)維時空的量子場論對應到d+1維的統計系統。可見其實凝聚態裡面是沒有「時間」概念的，研究的也是守恆量，那麼以同為守恆量的Hamiltonian作為出發點也比較合適。關注於散射、衰變的高能物理明顯不能這麼做。

以上全是拋磚引玉，部分觀點來源於CFT Big yellow book。因為個人固有的侷限性，也非相關領域的從業者，偏頗謬誤再所難免。歡迎各位熟悉相關領域的研究者給出專業詳實的解答。

媽耶，一點半了

A. Zee講過一個故事，我在這裡轉述一遍。

上個世紀八十年代正是quantum Hall effect研究熱火朝天的時候，當時很多大物理學家和未來的大物理學家齊聚UCSB，當中包括Zee自己，Wilczek，Schrieffer，以及文小剛和張首晟，都對QHE產生極大的興趣並準備用QFT的語言去研究。當時Zee他們的注意力都集中在理解Chern-Simons term與QHE的關係上。然後有一天Schrieffer跑去問Zee什麼是Chern-Simons term，Zee當時寫下了CS的拉氏量給Schrieffer看。Schrieffer當即問他，什麼是拉氏量？（這裡很可能是Zee為了突出喜劇效果而編的，我纔不信當時的Schrieffer不懂什麼是Lagrangian。）

Zee當即表示Lagrangian對於刻畫物理系統是很重要的。然後Schrieffer對Zee說，研究凝聚態物理並不需要Lagrangian，我們需要的是Hamiltonian。然後他繼續問Zee，Chern-Simons Lagrangian對應的Hamiltonian是啥，Zee當時就回答說是0。聽到這個答案之後，Schrieffer就知道已經不需要繼續聊下去了。

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