當下，有限元技術成為了部分工程計算的主流工具。那麼學習彈性力學等理論課程的意義是什麼？
如題。隨著計算科學的進步，學習理論的力學課程的意義是什麼。
附上我的彈性力學Live給大家。
希望能多多支持。
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大學時，我算是一個彈性力學愛好者。到現在，依然在持續做與彈性力學相關的科學研究。目前，投出去兩篇納米力學的SCI文章，（還有兩篇微尺度多場耦合的文章，已經做完了理論部分）。在數值方面，我也做過彈性和斷裂方面的有限元分析。另外，我有家人在中國兵器工作，他經常告訴我，有些困難的問題沒有解析解，不知道怎麼分析，只能屢次做實驗，做模擬，耗費巨大的人力和財力。
因此，我也算是有一些感觸的。接下來，我想談幾點有關彈性力學學習的必要性。
（1）科研與未來的結構設計需要。
經典彈性理論的發展是已經接近完善了，但是有其侷限性，例如在微機電系統中，分析小尺度力學問題時，經典彈性力學所給出的結論誤差很可能超過百分之四五十。
而基於尺度理論（Strain Gradient ，Nonlocal，等）的彈性力學還沒有建立一個公認的理論模型，這個時候依據特定的模型，只能進行解析分析。更不要說建立公認的有限元數值模型了。
在這裡，附兩張我的第二篇論文中的宏微觀靜態撓度對比圖和頻率對比圖。
靜態圖的下方曲面是尺度理論得到的，這個是用解析方法得到的結果，FEM（宏觀）理論顯然只能得出上方的圖。
對於小尺度材料和結構，存在一定的「剛度硬化」，用經典的連續介質力學是無法描述的。
（2）邏輯上講，解析解是被需要的。
找到了解析解，才能去對比分析，數值解是否具可靠性，是否收斂到真實解。否則有限元計算是否準確無從得知。
解析解是用來驗證有限元的。比如，對於前些年流行起來的功能梯度材料FGM。
老闆告訴我，之前課題組的一個師姐（現在是教授了），給出了最早的多場耦合FGM材料的解析解，就被一個歐洲的有限元公司用來驗證他們演算法得到的產品的可靠性。否則，數值方法是否正確，很難得知。
（3）工程分析需要理論背景。
因為有限元是解決彈性力學問題的數值工具，而對於實際問題，首先要定性的判斷，這屬於什麼問題，才能進行模型建立和計算。分析問題纔是彈性力學能培養出的能力。並不是所有問題都是老師可以傳授的靜態彎曲，或者簡單的振動模態。舉個例子，霍普金森桿應該都有所瞭解，一個彈性波的實驗。在什麼樣的問題中要考慮彈性波的傳播呢，這種問題如果對彈性動力學沒有深刻的認識，就不會在建模過程中考慮到這個問題。
舉個例子，老闆給我講的，放在這裡很合適，說明瞭只會用有限元軟體是完全不夠的。
以前有人請教他一個管道的衝擊問題，對方用壓縮判據，始終無法得到正確的結果。就是因為這個動態衝擊，壓縮波在邊界反射回來的拉伸波，導致材料被拉斷，著名的就是「飛片」現象。用鎚頭垂一個樁，在錘的地方不斷地有材料脫落，是因為彈性波在端部反射回來的拉伸波導致的。給對方說明瞭以後，用了拉伸判據，結果就符合實際了。
充分說明，只會操作有限元軟體遠遠不夠。
（4）（這段有一些跑題）我想說一說彈性力學的學習和應用。
初學彈性力學的人，肯定覺得彈性力學難在數學，簡單的教材會給出線性的偏微分方程，稍微難一些的教材可能會在線性理論里加入張量分析的內容，再上一個檔次的彈性力學可能會從非線性連續介質力學出發，配合熱力學，給出非線性的一般問題。
最初我也是一直在試圖掌握各種數學工具，如張量分析，代數，變分法，運算元變分原理，偏微分方程的解析求解，甚至是一些微分幾何的知識，但是後來才發現，其實這不是彈性力學的精髓，更不能把一門理性力學課程學成了數學系的課程，真正的彈性力學高手應該具備怎麼樣的能力呢？
我目前覺得，應該是對於概念清晰的理解，知道為什麼這麼定義，知道每個概念表示什麼，對於簡單問題可以有一個初步的定性判斷。
最基本的，應變張量與轉動張量的定義來源（前幾天看知乎有人提問）。深入一些的話個人覺得可以仔細研究一下熱力學（本構方面的內容），以及變分原理，初學彈性力學時，我並沒有體會到，最小勢能原理其實是哈密爾頓原理的一個特例，還一直在糾結其物理意義。
以上兩個公式，應該是對轉動這個問題比較好的描述了，望理解。
對於板殼理論，我給一張圖，如果這個可以理解，那應該算學得不錯的。
上面的變形模式有：長度拉伸，寬度拉伸，彎曲，厚度剪切，厚度扭轉。（基於一階剪切變形理論的位移模式）
其實更高階的變形方式還有非線性的剪切，厚度拉伸等等。
說到應用，如石英手錶，諧振器的設計是基於板振動的位移模式的，比如厚度剪切振動，如果只會看數值結果，不懂振動模式，顯然沒有辦法對器件進行合理設計，只能試探。
其實，有了這些最基本的概念支撐，用有限元也必然是得心應手的（有限元的理論體系是基於彈性力學的，不懂彈性力學，基本不可能懂固體有限元了）。
（5）彈性力學作為數學課程的一個應用背景，平行於其他物理課程的。
學習彈性力學，我的數學知識找到了歸宿。讓我體會到數學工具在自然科學中的運用，讓數學知識落地，我還是蠻享受自己的數學有處施展的這個感覺。
下面的內容是一些類比學習，因為我是先學的彈性力學，為了做電磁固體力學，後面深入學習的電動力學。其實仔細對比一下，兩門課程的相似度是非常高的，現在認為處於低頻階段，即，不考慮位移電流。
彈性力學用應力表示平衡方程，電介質可以用電位移表示平衡方程，對於磁學，也有相應的磁感應強度。彈性力學的本構關係是應力與應變的關係，對於電學和磁學，分別是電場強度和電位移，磁感應強度和磁場強度，對於幾何關係，彈性力學是位移應變，電學和磁學是電場強度，磁場強度和電勢，磁勢。
「平衡」方程：散度定理
力學：
電學：
磁學：
「幾何」方程：梯度，或亥姆霍茲分解
力學：
電學：
磁學：
"本構"方程：聯繫材料參數
力學：
電學：
磁學：
如果這些概念都搞明白了，完全可以上手入門做多場耦合分析了。
（6）一些問題，必須用解析解去分析，有限元不能得到可用的結果。
一些結構件的設計，需要彈性動力學的解析解去分析問題的特性。講點關於日本的話題，日本的彈性動力學水平是相當高的，一方面，材料和電子技術，因為電子元件的設計許多是要考慮波的傳播問題，如諧振器，電磁超聲，新穎的俘能器，等。另一方面，日本還要面對地震波（存在表面波的動應力集中）對建築物的摧毀。以上的問題，都是高度基於彈性動力學發展的纔可以研究的。
日本的力學大會，有專門的「彈性力學解析解分會場」。可見雖然日本是一個非常重視工具使用的國家，但同樣重視解析求解。
對於石英諧振器的設計，比如基於厚度剪切振動的Y-CUT石英晶體，我們必須要根據其色散關係，分析這種高頻波的傳播特性，（存在截止頻率），去考慮如何傳播這種波。
在幾十年前，壓電半空間中存在的B-G電聲波也被解析證明是存在的。
地震波有一些瑞利波的成分，這種逆時針橢圓運動也是威力巨大的，利用解析解是更容易研究一個問題特性的，這是必然的。
（7）結語。
好久沒在知乎好好答題了，今晚隨便寫一些，總而言之，大學生還是要好好學習彈性力學課程的，無論對工作還是對科學研究，都有深遠的意義，彈性力學是古老的，也是新穎的，當下的彈性力學也是生機勃勃。
大學有機會學力學就多學一點吧，說不定畢業就轉行了，再也不學了。哈哈哈！！！
彈性力學學習難點不在基本方程，而在於根據基本方程去推導更高級的結論，在於求一些問題的解析解，在於把彈性力學應用於複雜問題，等等。我們做了幾章練習題，為伊消得人憔悴，這時候突然開始學有限元，發現原來還有這樣簡單的解法，把幾何形狀、邊界條件、還有彈性模量輸入軟體，點一下求解，結果就出來啦。驀然回首，那人卻在，燈火闌珊處。
雖然有現成的軟體，但是沒學過基本知識直接做計算還是會掉坑，例如：做二維計算無法區分平面應力問題和平面應變問題；為實際問題建模時不知道如何選擇合適的邊界條件、不知道邊界條件會如何影響計算結果；在網格劃分不合適的時候看不出算得對不對；無法理解有的軟體計算結果中網格邊界應力不連續的現象。有的人做了計算，結果錯誤百出而不自知，很可悲；如果他的結果被應用於設計，很可怕。
再說一句，有哪個有限元用戶一輩子只做彈性計算？當材料不是純彈性的時候，更要求我們對基礎知識有正確的理解。見過一個人使用三節點三角形網格做彈塑性計算（地基承載力分析），網格閉鎖導致結果匪夷所思（承載力巨大），還以為自己發現了新的規律呢。
對了，彈性力學是我本科期間唯一一門滿分課程，哈哈。
有限單元法的理論體系建立是依賴於對應物理場的Governing equation 。例如Galerkin法，它是有限元中一種常用方法，任意的weight function和shape function採用相同方式插值，在定義域內積分為0。那麼彈性力學的平衡方程，本構方程，幾何方程，應力邊界條件，位移邊界條件所組成的Strong form就可以採用分部積分發法或者變分形式寫成Weak form. 因此對於固體力學的數學表達研究是有限元的必不可少一步。
另外一個例子就是斷裂力學。彈性力學的理論解中揭示了裂紋尖端奇異場，常用的線形單元或者二次單元無法很好描繪奇異性。後來人們研究發現Physical Domain中二次單元邊中節點移動到四分之一點後，轉換到Natural Domain後，形函數的導數在裂紋尖端出現了奇異現象，因為此時兩種domain轉換時的Jacobian行列式是奇異的。如果在裂紋尖端處使用這種Quarter point element，會得到更加精確的結果。
總結一下就是，通過理論分析，我們才能知道解的存在性，唯一性，穩定性，收斂性，只有這樣才能對數值結果的準確性有基本的認識。而且有限元也在不停更新，最近新興的XFEM就是在對於理論解有深入瞭解後，對形函數進行了不同的豐富，從而擴展了有限元的功能和範圍。多尺度計算力學是另一個例子，它通過數學證明，分析非均勻材料中微觀性質的突變對於宏觀力學性能的影響，使得分析大規模結構微觀性能成為可能。總而言之，有了理論支撐，有限元會發展的更寬更遠。
數值解最大的問題就是，解的正確性（code中是否有bug）和收斂性無法判斷，尤其是非線性問題。解析解，也就是彈性力學的主要任務，一方面可以用來Benchmark有限元分析。另一方面，從解析解中能看出求解的問題中所蘊含的豐富物理，這個很多時候有限元數值解的角度來會非常麻煩。
最典型的例子，就是斷裂因子的概念最先從解析解得到，然後直接開創了斷裂力學這個領域。又比如，下面這兩本書
- Mixed boundary value problems of potential theory and their applications in engineering
- Applicationsofpotentialtheoryinmechanics:aselectionofnewresults
別人都認為沒有解析解的問題，這位作者Fabrikant大哥通過新方法得到了解析解。後來在獄中，一直堅持寫文章。
其實你的問題可以在general一點，
數值計算很發達，解析解還有什麼用？也許在力學領域，做解析解很小眾。但在物理學領域，做解析的都是大神，數值計算反而比較小眾，處於理論和實驗之間。原因當然是數值解無法給出完整的物理圖像（從四大力學到量子場論，研究手段都是解析，當然主要是微擾的方法）。
可以開發有限元軟體呀，比如國產有限元模擬軟體Simdroid
當然只是學好彈性力學還不足以開發軟體，但至少可以更好的使用軟體。
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