圓周率 π 為什麼最初沒定義成「周長與半徑的比值」？直徑和半徑，哪個是構成圓最基本的單元？
假設古時候人們想在田裡畫一個圓，肯定會先固定好一個圓心，再拉條繩子轉一圈，一個圓形地塊就出來了（與圓規同理）。這樣看來似乎想創造一個圓，首要因素就是確定好圓心與半徑，有了半徑自然就有了直徑，所以半徑纔是圓最基本的單元。
但又假設古時候人們想測量一棵樹榦的直徑，肯定是先測量樹榦的周長，再除以圓周率近似值，即可得到樹榦的直徑。這樣看來，似乎對於現實中已存在的「圓形物體」，直徑纔是這個圓最基本的單元，有了直徑便有了半徑。
所以便有了題目的疑問，圓周率最初定義為周長與直徑的比值，僅僅是因為古時候周長更方便測量，從而可以通過圓周率直接得到直徑嗎？
世界上確實有人認為圓周長與直徑之比 不配擁有它現在的地位，擁有此殊榮的應該是圓周長與半徑之比，稱為
。
現實中 取得了如今的地位，固然有偶然性，不過能反映出在歷史上人們是先認識到「直徑」，後認識到「半徑」的。
從語言上來看，漢語「半徑」這個詞就明明白白地說明瞭是先有了「徑」（直徑），纔有了「半徑」。從英語上看，diameter（由 dia-「貫穿」和 -meter「測量」構成）和 radius（本義為 cross-shaft，可能是下圖這種機械零件）雖然字面上沒有關係，不過從出現時間上來看，diameter 出現於 14 世紀，而 radius 當「半徑」講出現於 17 世紀（參見 http://etymonline.com），也是直徑出現得更早。
為什麼人們會更早地認識到直徑呢？我猜想，可能是因為圓的直徑比半徑更容易測量。要測量圓形物體的直徑，可以用下圖的方法，非常簡單；而要測量半徑，則要先確定圓心，而圓心不是那麼容易確定的，有些情況下（比如樹榦）圓心甚至根本就接觸不到。
如果有過工程實踐的話，就應該有直接的體會了。
首先，如何測得一個正圓?在古代缺乏精密量具的情況下很難測量一個圓是不是正圓。所以當一個木匠要做一個圓形車輪的的時候，如何來檢查做出來的車輪是不是正圓呢。很簡單，只要測量經過圓心的任意一條直徑，然後和其他的幾條做對比，只要數值相等，就可以近似看做是正圓。
如果是一個大殿的柱子，如何看他是不是正圓呢，只要按照標準直徑做一個卡規，套在柱子上轉動，如果間隙不變就是正圓，如果間隙變大，或者卡住不動，那肯定不是正圓。
在機械加工，尤其是車牀加工的時候，半徑是沒法測量的，想看工件尺寸(圓)是不是合格，最簡單的辦法就是通過測量直徑外加測量徑向圓跳動來得到。
古人沒有你想的那麼聰明，最早的圓不是你說的那種方法做的，最早的圓是拿個多邊形的棍子像擰螺絲那樣對著石頭鑽孔也就是繞著直徑作圓，後面有了繩子纔有了圓規，也就是現代作圓的方法。那時候人們只知道圓怎麼做和對圓形的東西怎麼用有個瞭解，真正給圓現代歷史的定義是墨子了。
回到問題，為什麼圓周率是直徑而不是半徑。雖然人們做圓是用到尺規，雖然現在意義上圓是一中同長，可是半徑和圓心這個概念實際上是抽象出來的。而圓周率是怎麼誕生的呢，並不是拿一個繩子量了周長，然後拿卡尺去量直徑。最早的圓周率是依照割圓術來定義的。雖然各個地區都有自己的割法，實質上都是圓內接正多邊形和多邊形的直徑比。多邊形是從一個基礎多邊形開始然後倍增「割之彌細，所失彌少，割之又割，以至於不可割，則與圓合體，而無所失矣。」
可見，倍增的方法就是從一個基礎的正多邊形開始，取各邊中點，然後連線和圓相接。這個接點就是新的多邊形的頂點，新多邊形的周長就是圓的周長。這麼一看是不是覺得圓周率是周長和直徑比明顯多了？
當然現在我們知道，割圓術是永遠不可能和圓重合就是了。
半徑和直徑都不是構成圓的最基本單元，構成的基本單元應該是弧長的定義。弧長是會根據line element變化的，所以可以說line element決定了幾何的形式[1]。這導致了我們希望有代數式而不是依賴純粹的幾何來定義圓周率，因為更加基本。比如，圓周率可以定義為： 。見這裡[2]：
如何證明圓周率為定值？ - Enther的回答 - 知乎 https://www.zhihu.com/question/20178920/answer/432066443
不用積分的話，可以是使得餘弦函數等於零的最小正數的兩倍，其中餘弦函數也是用冪級數定義，而不依賴三角形的。
參考
- ^一個例子 https://www.zhihu.com/question/20055973/answer/345708003
- ^我居然答過一次了。。。
現代使用符號有約定俗成的原因，歐拉曾經將圓周率定義為周長比半徑，只是後來用直徑的定義廣為流傳罷了。不過是個符號，對現在而言差一個2倍沒有任何區別；至於起源，可能和古人出於丈量需求更注重面積有關，圓規畫一個圓，面積與圓規距離（半徑）平方的比值就是圓周率。
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