密碼為什麼一定要用質數？
看到了一篇科普文章，就很奇怪為什麼一定要用質數？
為什麼文中說，要求pqr必須是質數？是質數的話，就算很大，但理論上就算不知道質數是多少，也一定有唯一的冪。而如果大家商量好找三個合數的話（只要這三個合數不是彼此的幾次方的話，比如4 16 64這樣的），那豈不是隻要不知道這三個合數是多少，就永遠也不可能破解開了，同時也能保證知道這3個合數的情況下冪是唯一的？
我猜我這個問題對於數學大神，甚至一般的數學學者來說肯定特別白癡……但是還是求解答呀……
嗚…
說一點個人的理解吧…
首先這個例子很明顯是不恰當的。看起來像是在拙劣地模仿RSA而失敗了（關於為什麼不恰當，一會會有說明）
那麼進入正題。
首先，關於為什麼不用合數。
在這個例子裏，合數當然是沒有問題的。
我們把這n個數（題中為三個）的全部m個素因子提取出來，並定義aij為第i個數中第j個因子的次數。
那麼只要這個矩陣A的秩是n，問題就是理論上可解的。
那麼基於此，我們就能構造出一個反例
6,12,24
那麼解密一方是無法確認144=6×24=12×12的原始信息的。
在RSA演算法中也是類似——如果使用合數，並不是「安全性下降」這種問題，而是「加密-解密」的逆運算就不成立。
然後我們來說，文中的例子為什麼是糟糕的。
我們要明確的一個前提是，在我們的討論中，密鑰應當被多次使用——不然如果是一次性密碼本（密鑰長度=密文長度）的話，簡單的xor就能夠構成即使在數學上也是不可破譯的密碼了。
那麼，在這個問題裏。如果Eve收到了幾段不同的信息——那麼不去取一下最大公約數的話豈不是屑。
畢竟取最大公約數又沒有什麼太高的複雜度（攤手）
只要多做幾個來回，很輕易地，竊聽者Eve就可以還原出這幾個素數。然後的事情就……
如果大家商量好找三個合數的話（只要這三個合數不是彼此的幾次方的話，比如4 16 64這樣的），那豈不是隻要不知道這三個合數是多少，就永遠也不可能破解開了
就事論事吧，不說RSA了。
你的論點不成立
首先，你應當注意到，我們在這裡的約定是「一次性」的，我們不會在每次傳遞信息之後重新約定pqr——但與此同時，傳遞信息可能會有多次。
某些時候，傳遞的信息可能會有一定的規律，比如如果你傳遞ASCII碼英文字母的話，傳遞的信息的大小是受到限制的——同時你應當注意，如果你傳遞的字母需要組成單詞（而不是傳遞一串亂碼），那麼，我們可以很方便地判定某個解是否是密碼
注意到這一點，破譯合數密碼會簡單很多：
比如，合數可以繼續分解成更小的質數：
破譯者沒必要知道合數的任何信息，破譯者只需要看合數的幾個素因子就好。把質數改成合數，對破譯者來說，只是小麻煩而非大麻煩。
——然而，如果改成合數，很可能破壞分解難度/增加需要傳遞的信息的長度
得不償失
關鍵是：你需要對因式分解的難度有一定的認知：
一年有多少秒：3.15e+07。太湖之光超級計算機每秒浮點數運算次數：125.436PFlops(Peta,e+15)，即1.25e+17。那麼，使用太湖之光超級計算機對200位素數窮舉法因數分解需要2.52e+191年，地球的年齡約4.5e+10年，宇宙的年齡約1.4e+11年。大家可以想像一下這個時間尺度。
關於素數可以看這篇文章
離散數學極簡教程（三）——素數的故事?mp.weixin.qq.com
用不用質數取決於加密的方式。
你的例子單從傳遞信息角度可以用合數，只要pqr互質就行。（不互質的話，加密沒問題，解密可能出現多解）
從分解角度，你的pqr如果是合數，那麼結果含有更多較小的素因子，如果對方從小因子開始試除，那麼分解會更快。
當然，因子分解目前沒有特別好的方法，有的方法對小因子多的快，有的對幾個因子差不多大的快，具體快慢要看對方用哪種方法，而你應該從最壞的情況考慮。
也就是說，你很可能降低了破解難度。
謝邀，做過一點密碼學的研究，學過一點RSA密鑰公里體系，也有圖像加密的研究，但是仍然不是很瞭解，但我想用質數的原因是因為他足夠特殊，如果說整個自然數是一座大廈，素數毫無疑問是組成這座大廈的基石，因為任給一個自然數除0和1，都可以在變換次序的意義下進行唯一的素數的分解，而中國剩餘定理(對就那個韓信點兵問題)其實就算是RSA加密的理論，也是隻針對素數展開的(點兵問題是3，5，7吧，不記得很清，但是肯定是素數)這個跟解法有關，至於有沒有基於非素數的加密方法呢，我不清楚可能是有的，對比較特殊的合數，開個腦洞，比如說平方數，費馬數或者菲比拉契數，但是我真不瞭解不胡說。密碼理論是一個非常高深的學科，數論，羣論等很多理論都需要用到。但是為什麼密碼一定要用質數呢，我只能說夠簡單夠經典，如果用其他的比如費馬數，菲比拉契數，那麼加密耗費內存就很大，相比這兩者而言，用孿生素數可能還代價小點，當然素數是最理想最簡單的了。
RSA不是拿素數這麼玩的。這只是個簡單例子，用來展現「質因數分解是困難的」這個事情。
因為合數能拆分成更小的質數 你等於降低了破解難度 用更大的數傳遞了更少的信息 比如同樣是210你用14和15做因子只能傳遞1 1這個信息 我用 2 3 5 7能傳遞1 1 1 1這個信息 兩條信息的破解難度相同 而用11和 13作為因子傳遞 1 1這個信息他需要的數143更小 反而比210更難破解
數論密碼已經有人說了。我補充下吧，很多密碼都用有限域為基礎。而有限域的元素個數是必定是 q^n for some positive prime number q and some natural number n. 為什麼用有限域，因為很多問題放到有限域上會變得很難，比如MQ problem, 在有限域上解多變數二次多項式組，因為沒有度量空間，就沒有辦法逼近用numerical 辦法。
推薦閱讀：
