注意到

[公式]

由於兩個絕對收斂的級數可以任意相乘, 記 [公式] , 則有

[公式]

其中

[公式]

於是有

[公式]

參考，數學分析精選習題全解(下)-薛春華,徐森林，題646，P288。照貓畫虎抄一遍就這麼又水了一題。。。

我們對於兩個數列分別求和之後再求積 [公式]

可以先遍歷下標之後再求和

我們發現，同一對角線，下標和相同。

[公式]

這就是柯西乘積

接下來就直接套公式就行了

[公式]

首先，有非常簡單的反正切展開式

[公式] 由於這級數展開式在 [公式] 內是絕對收斂的，因此可以通過自乘做成 [公式] 乘積，即

[公式] 現在只需求出這待定的係數 [公式] ，而這是容易辦到的。事實上，它是通過對所有滿足 [公式] 的正奇數指標 [公式] 按如下手續作和而來

[公式] 於是

[公式] 這就是要證的。

不請自來，採用柯西乘積

原文鏈接

級數的柯西乘積?

mp.weixin.qq.com圖標

有脫褲子放屁之嫌，權當看個熱鬧

端點處總不要我教了吧

貼個出處

這個問題易證得，要是真不會我看情況貼個證明，上面幾個樓主已經把拆解過程說的比較仔細了，這個是給那種不會推的，背公式人看的

謝惠民上6.2.4練習題的第2題是

對 [公式] 計算 [公式] 。

這與該問題等價。我們使用遞推的方式來求解。

因為 [公式] ，所以

[公式]

在上式兩端在求導，得到

[公式]

即

[公式]

利用萊布尼茨公式，對上式再求 [公式] 次導數，得到

[公式] 把 [公式] 代入並整理，得到

[公式]

因為 [公式] 是偶函數，所以當 [公式] 是奇數的時候 [公式] 是奇函數，進而 [公式] 。於是我們只考慮 [公式] 時的情形。在

[公式]

的兩端除以 [公式] ，得到

[公式]

或者

[公式] 兩端乘以 [公式] 後變為

[公式]

於是我們得到

[公式]

進而

[公式]

所以

[公式]

因此

[公式]

其中我們略去了對一些低階導數的具體計算，事實上 [公式] ， [公式] 。

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