今天做到一個很神奇的級數求和。

首先是大名鼎鼎的黎曼zeta函數：

[公式]

[公式]

[公式]

[公式]

[公式]

[公式]

……

[公式]，其中 [公式] 為伯努利數

還有很多很多跟它有關的級數，挑兩個：

[公式]

[公式]

以上內容推導參見：

Aries：你絕對從未見過的有關黎曼ζ函數的一堆可愛級數?

zhuanlan.zhihu.com圖標

下面是長得很像黎曼zeta函數的狄利克雷beta函數：

[公式]

[公式]

[公式]

[公式]

……

[公式]，其中 [公式] 為歐拉數

兩種推導過程分別參見：

如下圖，這個級數如何求出來呢？?

www.zhihu.com圖標Aries：黎曼ζ函數、狄利克雷β函數：ζ（2n）與β（2n+1）的另一種巧妙求法?

zhuanlan.zhihu.com圖標

我就不信有人會說它們不神奇~~

在我的草稿本上找到了一些有趣的級數：

[公式]

[公式]

[公式]

若定義 [公式]

則 [公式]

[公式]

特別地，代入 [公式] 可以得到 [公式]，其中 [公式] 為卡塔蘭常數。

若定義 [公式] ， [公式]

則 [公式]

並滿足函數方程 [公式] ， [公式]

以上級數看起來複雜，其實計算是套路化的，類似於歐拉和那樣疊權積分即可，有興趣的讀者可以試試。

下面這個級數如果能看出來來源還是比較簡單的：

[公式]

特別地，代入 [公式] ，得到：

[公式]

（要是直接給出這個級數還能看出來，那是真的厲害）

我舉幾個我覺得還比較有趣的級數求和的例子

我前些年看特攝片『歐布奧特曼』的時候，裡邊有個主要角色，叫松戸森，他被設定為一個天才科學家。

為了符合這種設定，他的辦公地點有塊黑板，黑板上經常寫著一些莫名其妙的數理公式，比如：

氣壓-高度公式（Barometric formula）和霍普金森定律（磁路歐姆定律）

離散型Logistic方程（Discrete Logistic Equation）

其中有一話，這廝背後的黑板上寫著：

我仔細一瞧，這tm不是印度著名數學家拉馬努金（1887——1920）給出的

[公式]

[公式]

麼

這兩個級數求和還是很困難的，有興趣的同學可以參見：

拉馬努金圓周率公式的原理是什麼？?

www.zhihu.com圖標

我就不獻醜了

分割線

分割線

我再來舉一個很簡單的例子，但這個例子是有著比較有意思的背景的：

級數

[公式]

我們知道牛頓二項式定理

[公式]

即 [公式]

（ [公式] ）

代入 [公式]

得到

[公式]

用 [公式] 取代 [公式] ，可得

[公式]

也即

[公式]

這裡 [公式]

就是所謂的Catalan數，關於它的詳細討論可見：

https://zhuanlan.zhihu.com/p/60964047?

zhuanlan.zhihu.com圖標

對於

[公式]

你只要代入 [公式]

就能得到 [公式]

但是，這個級數背後還有其他玄機

比如我和你說，這個1其實可以看成概率，一個幾乎必然事件的概率

我們考慮一個簡單的概率問題：

一個質點在數軸上任意移動，初始時刻位於原點，每一步向 [公式] 軸（數軸）正方向或負方向前進一步，向正方向或負方向是等可能的（都是 [公式] ），一旦再次到原點就停止行動，否則無限進行下去.

求：質點最終運動回到原點的概率.

考慮質點先運動到點1（由對稱性，第一步運動到點-1的情況與之相同）

在此條件下

設質點能回到原點的概率為 [公式]

顯然質點有 [公式] 的概率在下一步直接回到原點，質點亦有 [公式] 的概率下一步運動到點2

設在下一步質點運動到點2的條件下，能夠運動到點1的概率為 [公式]

顯然 [公式] （因為二者結構完全等價）

而設在質點運動到點2又運動到點1的條件下，最終運動到原點的概率為 [公式]

（在質點運動到點2的條件下，質點想回原點，當然需要過點1）

你會發現，它與之前質點在點1運動時，能到原點的概率相同，還是 [公式] ，因為結構上同樣完全等價

則有

[公式]

解得 [公式]

最終，這個質點能夠回原點的概率當然是

[公式]

注意，這裡雖然 [公式] ，但這實際上是個幾乎必然事件，而非必然事件

樣本空間內存在這樣的可能性：

（不妨設質點第一步往右走，並且沒有回原點）在某一時刻後，向右走的累計總步驟總是多於向左走的累計總步驟，導致質點永遠回不到原點

儘管這些都是一個概率為0的幾乎不可能事件

那麼，這道題有沒有其他方法？

有，用組合的方法也是可以的，但是要麻煩不少

注意到，質點離開原點後，如果不加上「不允許接觸原點」這一限制，運行 [公式] 步的方法數顯然為 [公式]

顯然僅當質點運行偶數步（ [公式] ）後，纔可能會回到原點

而設這 [公式] 步的運行，中途不經過原點，而最後一步到達原點的方法數為 [公式]

先考慮途中不經過 [公式] 軸負半軸的方法數（途中不經過 [公式] 軸正半軸的方法完全與之對稱）

必然是第1步從原點到達點1，第 [公式] 步從點2到達點1

所以從第2步到第 [公式] 步這 [公式] 步必然向左和向右的步數各為 [公式]

假設不考慮不允許穿過原點的禁忌，則共有 [公式] 種方法

其中任意一種穿過原點的方法，都可將其在第 [公式] 步之前最後一次到達原點前的所有步驟關於 [公式] 作一次反射，

這樣，上述完整的步驟等價於先從原點到-1點，再經歷 [公式] 步到達點1

這 [公式] 步必然是向左 [公式] 步，向右 [公式] 步

共有 [公式] 種方法

將這 [公式] 種方法排除，就是第1步到達點1，從第2步到第 [公式] 步，並保持保持質點位置 [公式] ，第 [公式] 步到達點1的方法數

即

[公式]

即著名的Catalan數

如果看我這篇文章的話：

北斗星司：淺談Catalan數（一）

你會發現這個質點隨機遊走問題與Whitworth路線也完全是同構的

而

[公式]

[公式]

這就從組合與概率的角度解釋了，級數

[公式]

為什麼和為1

今天剛推的：

[公式]

推導過程在這裡：

圓周率pi比較著名的無窮級數公式有哪些？?

www.zhihu.com圖標

拉馬努金公式

[公式]

Chudnovsky公式

[公式]

簡直是魔法

目前求 π 的演算法中哪種收斂最快？?

www.zhihu.com圖標

下面這個地方介紹了這個公式是怎麼來的

Motivation for Ramanujans mysterious pi formula?

math.stackexchange.com圖標Pi Formulas and the Monster Group (Or How a Monster Can Bake a Pi)?

sites.google.com

順便證明一下題主的那個級數：

Proving that the sequence $F_{n}(x)=sumlimits_{k=1}^{n} frac{sin{kx}}{k}$ is boundedly convergent on $mathbb{R}$?

math.stackexchange.com圖標
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