有限元法裏的單元究竟指的是什麼？

我學彈性力學到現在，有點不能理解的就是梁單元桿單元究竟指的是什麼東西，是劃分網格之後每個網格就是一個小梁小桿嗎？

我來講講我的理解吧，不對的地方請指正

要回答這個問題

首先要明白

什麼是有限元？有限元要解決什麼問題？

彈性力學告訴我們，彈性連續體的各種力學問題可以歸結為偏微分方程的各類邊值問題。(動力學方面，哈密頓原理和拉格朗日法也說明瞭動力學問題也是如此)

那麼問題來了

偏微分方程不好列

偏微分方程不好解

有限元法同時化簡了兩個問題

偏微分方程不好列，那我就不微分了，我離散吧，離散後就不用一個連續函數表達了，可以用一系列簡單函數表達了

偏微分方程不好解，比如根據定積分的定義，定積分其實是無窮求和。因此求解偏微分方程過程中，積分很困難。

無窮的問題總是難的，特別是對計算機而言。那麼我們如果能求一個有限的和，那麼問題不就化簡了？

那基本思路有了，我們把連續體(無窮個微元)離散化，用簡單的有限單元，每個單元通過一些定義，它的性質總是已知的，然後通過相應假設(比如力學裡的各種假設，連續性，線性，相容性等)，我們可以進行有限元建模

最後一個問題來了，我們的這個思路是否可行？

所以有限元進行合理的離散要滿足三個條件

第一，準確性，不提了，你要算的不準那肯定沒用，但這裡準確不是要100%相等，在一定誤差範圍內就行

第二，收斂性，劃分單元的時候發現怎麼劃都不對，並且我們發現當單元無窮多的時候，結果發散，那說明我們的化簡方式肯定有問題

第三，相容性，我們原來的物體是連續的，現在離散了，離散後的單元的不能發生跳變。比如梁彎曲，你要拿兩個桿去模擬，中間就是個凸起的點，位移是連續了，但轉角不連續。

那麼看到這，對於有限元應該有所認識了，反過來回答問題

所謂的有限元就是合理的離散

而所謂的單元，自然就是合理離散的最小組成部分

至於所謂梁單元桿單元，只是這個通用的部分的代號，它具有這樣的性質就稱作這樣的單元。不代表解決這個問題就一定要用這個單元。

所以通俗的說，你說的劃分網格後的每個網格的單元就是有限元的單元。

但也可以思考以下這個問題

比如一個實際的梁的問題我一定要用梁單元模擬嗎？

三維的問題一定要用三維實體單元來模擬嗎？

物質是原子構成的，如果你有一臺強大的電腦，可以模擬每一顆原子的運動，那你把這些運動相加，就得到了宏觀上物質的運動。

但現實是人類發明的計算機還沒有這麼強大，退而求其次，數值模擬把一個物體劃分成許許多多的小塊，把這個物體視作是幾千個、幾萬個，甚至上百萬個這個小塊組成的。

對於整個物體來說它的邊界條件、荷載狀況和應力應變分佈是高度各向異性的，對於物體或者結構的應力應變分佈求解在宏觀上常採用彈性力學、結構力學等方法，計算複雜，也不易於計算機計算。但如果將這個物體切分成許多個小塊，對於單個小塊，比如一個正六面體（正方體），它上面受到的應力無非就是6個，xyz三個方向的正應力和xy、yz、xz平面的切應力，對應的應變也是那6個方向。對於這樣一個小塊，或者稱之為單元也好，微元也罷，荷載和邊界條件就體現在初始應變的輸入，進而通過本構關係，將輸入的應變轉化成應力。小塊與小塊的接觸面之間通過運動方程、連續性方程等方式進行應變傳遞。最後將所有的小塊的應力應變合起來看，就是整個物體的應力應變分佈了，換句話說，就是從許許多多個小塊的運動得到了整體的運動。