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2019-12-09

數學和物理學的關係應該是十分密切的，在數學系以外的課程中，物理系開設的數學課最多也最深。「物理學公理化、數學化」，曾是一個時期許多大學問家追逐的目標。不過，擅長使用數學於物理的楊振寧教授卻認為二者間的差別很大，他有一個生動的「雙葉」比喻來說明數學和物理學之間的關係（見圖 1）。他認為數學和物理學像一對「對生」的樹葉，他們只在基部有很小的公共部分，多數部分則是相互分離的。楊振寧先生解釋說：它們有各自不同的目標和價值判斷準則，也有不同的傳統。在它們的基礎概念部分，令人喫驚地分享著若干共同的概念，即使如此，每個學科仍舊按著自身的脈絡在發展。

楊振寧先生曾說過：理論物理的工作是 「猜」, 而數學講究的是 「證」。理論物理的研究工作是提出 「猜想」，設想物質世界是怎樣的結構，只要言之成理，不管是否符合現實都可以發表。一旦「猜想」被實驗證實，這一猜想就 變成真理。如果被實驗所否定，發表的論文便是一文不值。數學就不同，發表的數學論文只要沒有錯誤，總是有價值的。因為那不是猜出來的，而有邏輯的證明。邏輯證明瞭的結果，總有一定的客觀真理性。...正因為如此，數學的結果可以講很長的時間，它的結果以及得出這些結果的過程都是很重要的。Johann Karl Friedrich Gau? 給出代數學基本定理的五種證明，每種證明都值得講，但是教我講 「宇稱不守恆」 是怎麼想出來的，我講不了多少話。因為當時我們的認識就是朝否定宇稱守恆的方向想，『猜測』不守恆是對的。根據有一些但不能肯定，究竟對不對要是得靠實驗。楊振寧先生最後說：理論物理的工作好多是做無用功，在一個不正確的假定下猜來猜去，文章一大堆結果全是錯的。不像數學，除了個別錯的以外，大部分都是對的，可以成立的。

所以說，如果要在物理還是數學中選一個，作為對人類推動最大助益的學科，我情願選物理！物理學是研究物質、能量的本質與性質的自然科學，是自然科學中最基礎的學科之一，它不僅是一種實驗物理，也包括了理論物理。物理學已經有了分工，理論物理做「猜測」，實驗物理做「證明」，只有在理論物理中才會用到數學。數學在物理學禮的主要角色並不是推導與演算的工具，作為一種抽象語言，更精準地擔任表述物理定律之責，兩者相輔相成。

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先明確問題，什麼才叫對人類有推動？

我認為是經濟發展，經濟發展程度越高的地方被認為越文明，越進步。

所以現在問題是物理還是數學對經濟發展幫助更大。

經濟發展最主要來自兩個方面：科技進步和科技進步的大規模使用。三次工業革命是經濟發展的最大推動。

對科技來說，數學是最底層，上層是物理，然後是工程學。

你說那個幫助最大，不太好說。

但是最直接的推動當然是工程學，其次物理，再次數學。

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怎麼最近知乎都給我推薦這種想當然的問題。

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是數學和物理的交集部分

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我淺薄的認知讓我認為，它們是同等重要的

物理想要仰望星空需要數學，數學想要腳踏實地需要物理。

牛頓以一己之力開天闢地樹立起了經典矢量力學和微積分兩座豐碑，前者被物理學家拿去，後者被數學家拿去，後來在微積分之上有了變分法，拉格朗日把這個方法引入動力學，出現了歐拉-拉格朗日方程，這是分析力學的起源，哈密頓更進一步，用最小作用量原理讓分析力學更上一層樓，引入了哈密頓正則方程，這是數學和物理學第一次交相輝映，從此它也成為了物理系的第一門本科課程「理論力學」。最小作用量原理和變分法，讓物理學家們相信，「大自然從不做多餘的事」。

牛頓的矢量力學被各種工程學科借去，有了土木工程，機械工程等的發展。而分析力學，一方面在工程上，它成為了研究動力學的最有力的工具，各種振動、波現象的建模都有賴於它。另一方面在物理上，它進一步深入，成為了建立量子物理理論的基石，當然，如果要說量子化是從泊松括弧走過來的，也行，但即便如此，正則坐標也是哈密頓力學引入的。

物理進一步往前走，玻爾茲曼基於一個假設，即系統處於每個態上的概率相等，通過統計規律導出了大量粒子體系的行為的描述方法，是為「統計物理學」，其與量子力學相交融，人們又進一步得到了「量子統計物理學」，它在化學、凝聚態物理甚至機器學習裏，有著非常重要的地位，而這背後除了物理的模型，統計規律的描述也是不可或缺的。

統計物理及其宏觀的另一種表述，熱力學，成為了諸如化工、能源工程等工程科學的基石，物理和數學的交相輝又一次給人類帶來了新的發展。

在微積分之上，人們研究了矢量和張量的微積分，被稱為矢量代數及張量分析，這兩個工具首先被麥克斯韋引入了電學之中，他把之前人們發現的關於電場和磁場的定律，用矢量代數的形式寫了下來，引入位移電流假設後，得到了四個具有高度對稱性的優美的偏微分方程，即「麥克斯韋方程組「，這就是電動力學的基石，在此之上，愛因斯坦接過了他的衣缽，發現電磁場遵循的洛倫茲變換可以應用到四維時空之中，於是他創立了狹義相對論。

電磁場理論已經成為了電氣工程、電子信息工程、光電科學與工程等學科的基石，沒有它們就沒有我們的電氣時代和信息化時代，萬物互聯也無異於癡人說夢。另一方面，矢量代數和張量分析也被經典的矢量力學拿去，使其更進一步，創造了」連續介質力學「，也就是描述固體的」彈性力學「和描述流體的」流體力學「等，這是牛頓的三定律和他的微積分在幾個世紀後的又一次交融，讓工程學在新的時代煥發了新的光輝。

愛因斯坦繼續往前走，發展了牛頓的引力理論，他認為引力的本質是四維時空的曲率，可又苦於沒有方法描述四維的時空，此時他慕然回首，發現黎曼在半個世紀前就已經提出了黎曼幾何，而這就是他需要的工具，於是他終於寫下了愛因斯坦場方程，建立了廣義相對論，給天文學、航空航天等學科注入了新的動力。

而另一方面，矩陣力學的創始人海森堡，在構建了量子力學的矩陣描述之後，卻一直缺少一個工具描述他的理論，後來他才發現，線性代數就是他想要的量子力學的語言，用算符和本徵矢等描述的矩陣力學和薛定諤用偏微分方程描述的波動力學走到了一起，為量子力學的參天大樹埋下了堅實的根基，而量子力學及其之上的學科，成了後來材料科學、電子科學的基礎。

再後來科學家們還把各種數學工具比如羣論引入了物理中，從而對稱性成了物理裏大家最為關注的點，前沿的高能物理和凝聚態物理，對稱性都是其中不可或缺的重要考量，比如標準模型的SU(3)×SU(2)×U(1)描述了強力的規範羣SU(3)和弱電的規範羣SU(2)×U(1)，其統一了強弱電三種力及描述了所有的基本粒子，而凝聚態物理中的拓撲相變及拓撲絕緣體，也是基於對稱性，通過拓撲的語言，描述了系統的非局域的性質。

總而言之，物理和數學雖然看起來側重點不同，但是其實它們之間有著很大的重合的部分，數學會指導物理用更好的方式描述其實驗中的現象，並且還會預言新的物理，而物理會把數學的優美帶到這個世界上來，讓數學的力量得以真切地表現，所以我無法說出物理和數學誰更重要，就像我們無法說心臟和大腦對一個人而言，哪個更重要一樣。

另外，我個人一個小的感受是，一般都是對物理和數學瞭解的不夠，才會提出這樣的問題，如果真的有這樣的疑問，不妨好好學一學大學的物理和數學專業的課程，我相信如果你真的扎紮實實地學了下來，你會明白，比誰更有用是喫瓜羣眾更喜歡做的事，真正做數學和物理的人，他們巴不得兩個都很有用，因為他們關注的，是追求真理。

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