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引言 這個問題非常有趣，我起先學通過因式分解來求不定積分（就是把一個複雜分式轉換為若干個簡單分式的和）的時候也想過這個問題。後來把這個命題改寫成（偽）初中證明題和同學討論了一下，從代數學基本定理出發，得到了一個更強的結論。

不加證明地給出一個引理。

引理1（代數學基本定理） 任意的單元多項式函數在複數域上至少有 個根。

引理1看似沒用地給出了一個多項式的根的存在性定理，但實際上我們可以推出一些東西。

引理2 任意的單元 次多項式 在複數域上有 個根。

證明：

當 時， 。

假定命題對 成立，考慮 的情況。

由引理1， ，故 ，

由於命題對 成立，則 有 個根，故 有 個根。

由數學歸納法，原命題成立。

引理2相對引理1要更強一些，但對於原命題還是不夠的。

引理3 若 是單元 次實係數多項式 的一個根，則 的共軛 也是 的根。

證明：

因為 ，所以 ，即 。又因 ，故 ，因此

從引理3出發我們可以證明一個比原命題更強的結論。

定理1 任意的單元實係數多項式 ，總能被分解為若干個一次多項式與若干個二次多項式的乘積。

即

其中，

。

證明：

由引理2、引理3，任意的單元實係數多項式 ，總能在複數域上被分解為若干個一次多項式的乘積。

即 。

其中 。

又因

即得，原命題成立。

定理2 實數域內因式分解的結果唯一。

證明：

由於對任意 ， 拆開後所有係數均為實數的充要條件是 ，所以所有二次多項式的分解唯一。

又因一次多項式的分解也唯一，得 可在實數域內被唯一分解。

Q.E.D.

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更新一下，看到了高贊回答證明瞭實數域和複數域上多項式環是UFD，其中用到了代數基本定理，實際上是不必要的。有理數環上也有唯一析因的性質，只不過因子不像實複數域上那麼簡單而已，比如說分圓多項式就是素的(也是不可約的)。

域上多項式的唯一析因性質本質是因為輾轉相除法，而不是因為複數域上多項式必有復根。

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對於一個環來說，因式分解存在且唯一是一個特殊的性質。這種環叫做UFD(unique factorization domain)。並非所有環都是UFD, 但主理想整環一定是。而域上多項式環是Euclid環從而也是主理想整環，從而因式分解存在且唯一。

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正好今天在書上有看到

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這個命題並不一定正確，或者說在一定條件下正確。當R是唯一因式分解環（或稱「唯一析因環」，或稱「唯一分解整環」，簡稱UFD，"Unique Factorization Domain」）時纔是正確的。

含乘法單位元的無非零零因子的交換環被稱為「整環」。如果R是一個整環，p∈R不是零元或單位元，且對任意a，b，如果p整除ab可推出p整除a或p整除b，則稱p為R中的素元。

如果整環R中元素都可以表示成有限個素元（不可約元）之積，並且表示法在允許重排與相伴之下是唯一的，那麼R就是一個唯一因式分解環。

若R為唯一因式分解環，則多項式環R[X]亦然。由此可知任意有限個變元的多項式環R[X1, ... ,Xn]也是唯一因式分解環。

特別的，如果R是一個域，那麼R[X]是主理想整環，從而是唯一因式分解環。

比如最常見的，考慮複數域C上的多項式環C[X]，?首一多項式p(X)∈C[X]，由代數基本定理，p(X)分裂為若干一次因式的乘積，這個分解就是唯一的。

考慮環Z[√-5]，這個環就不是唯一因式分解環，明顯有6=2×3=(1+√-5)×(1-√-5)，換言之，6∈Z[√-5]的因式分解不唯一。

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從抽象代數角度看，多項式環是UFD

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