數學公理體系是僅有一套，還是能有多套？

若一套數學公理體系作為地基，搭建出整個現代數學大廈體系。
那麼這套數學公理體系是否具有唯一性？
是否存在其他的公理體系照樣能夠推出整個現代數學體系？

如果可以的話，由於這兩套體系是從不同角度切入的，那麼是否意味著：
數學體系A裏某個概念和定律（比如說微積分相關定律），無論理解和證明都很複雜和繁瑣。
但是在另一套數學體系B中，就變得簡單易懂了？
本人心理學專業，輔修計算機科學時產生了這個疑問，如果表述不正確或不嚴謹的地方，請指正。

1.公理系統並不是唯一的，但是典範性的公理系統是可能存在的。並且數學的大部分結構是唯一的。

一個系統的命題可以大致分成兩種：A類命題是可以改變公理系統的形式使得這個系統能夠將其證明或者不能夠將其證明，但是如果選擇可以證明的那一系列形式，那麼無論如何改變公理系統的具體"條款"，A類命題在這些系統的內蘊實際上都是一樣的並且具有唯一的真值。絕大多數數學問題都是A類命題。

B類命題是隨著公理系統的改變命題的真值也會隨之改變的命題。最典型B類命題就是連續統假設CH。

因為B類命題的存在，我們實質上並不能宣稱公理系統是絕對的唯一的。但是，如果Ω-猜想成立，我們確實是可以在眾多公理系統中找到令A類問題最多B類問題最少的公理系統，也就是所謂的典範性。

又因為A類問題相比B類問題的壓倒性的存在我們可以宣稱數學結構的絕大部分都是唯一的。

2.換一個公理系統能不能優化問題的求解？理論上可以，但是一般來說並不需要涉及到我剛才提出到的那麼深入的模型論和證明論方法，更不需要動搖公理系統。在這方面比較經典的運用就是非標準分析和標準分析了吧。有一些實分析問題非標好做，有一些標好做。非標也更容易入門一些，極限定義還是挺難的，實無窮小比較直觀。

可以有多套。其中，可能有幾套互相等價；可能一套比另一套強（譬如Peano公理，去掉歸納法就嚴格變弱了）；可能兩套之間沒有關係。

我們常用ZFC公理，嚴格強於ZF，可以說嚴格強於Peano，弱於Tarski-Grothendieck公理等等。

再比如說，經典的幾何原本公理，事實上不能完整的刻畫平面幾何；後來發現漏掉了Pasch的公理，加上之後稱為更強的Tarski幾何；再拓展一下得到Hilbert幾何公理。

事實上各個等價公理體系之間互推不是特別難，比如刻畫實數的公理，我記得完備性公理有六七種形式，都可以互相推導，而且基本是可以留作練習題的難度（w

可以有多套，現代數學建立在集合論上，也有人用範疇論建立數學理論，是不是還有其他的理論可以做整個數學的基礎，應該是還有的，等你去發掘。

公理是假設，可以假設一個命題做公理，也可以假設它的否命題叫公理，還有以抽掉某個公理，都可能成立。

最著名的就是平行公理，假定兩平行直線永不相交，就是歐幾裏得幾何；承認他們相交就是非歐幾何；非歐幾何又可以假定它們有至少一個點，有且僅有兩個交點（球面幾何），不少於三個交點。。。。。。都是不同的幾何。甚至，你可以抽掉平行公理，就沒有平行的概念，這個幾何角絕對幾何。平行公理就是你高興你隨便玩。

選擇公理也有意思，承認它是一門數學；否定它還是一門數學，不過比較奇怪。

還有公理等價性，有些公理是等價的，可以規定其中一條是公理，另一條就降格為定理，這樣的數例子也不少。

總之，數學公理體系能有多套，相互矛盾的就形成不同數學理論；還可以由命題的等價性選擇某些命題做公理，那是同一個數學理論，每個數學理論都可以選擇不同的一組命題做公理，有很多可能的選擇。

數學體系A裏某個概念和定律（比如說微積分相關定律），無論理解和證明都很複雜和繁瑣。但是在另一套數學體系B中，就變得簡單易懂了？

是有這種情況。但是這時候這兩個系統裡面的「概念」就是不同的概念，你必須先得證明這兩者是同一個東西，然後你的「簡單易懂」纔是有意義的。

常見的例子比如幾何意義證代數題；組合意義證組合數恆等式；代數基本定理的拓撲證法等等。

比如說幾何學的發展，古老的歐式幾何，和近代的解析幾何，當代的微分幾何是一個東西嗎？他們只是對於世界不同的刻畫方式吧。

多套。原則上你自己整幾條公理定義只要清晰自洽也可以算一套。

並沒有見過你說的這種情況，就算有也意義有限。因為你想讓兩套體系說上話，首先要證明這兩套體系的某個程度上的等價性或者結構一致性，否則體系A和體系B的概念之間就沒有聯繫，你就無法通過體系A中的某個結論來推體系B中的某個結論。而這種等價性和結構一致性的證明本身就會足夠複雜了。

有多套是可以的，且一般不會讓各系統之間的「不同的公理」太多，不然的話，很亂。不同的公理體系一般只有很少的幾條公理是不同的。別看不同的公理很少，由此會導致出現差別很大的性質（定理）。

例如，著名的歐幾裏得幾何第五公設說，給定任意直線和直線外任意一點，有且只有一條直線過該點且與已知直線平行。（事實上原本的命題比這個複雜，但是可以證明：（在承認其它公理的情況下）這個命題和第五公設等價）

如果承認第五公設，那麼就是歐幾裏得幾何的公理體系。而如果不承認它，或者改成別的說法，自然就成了別的公理體系。目前比較有名的是改成：過該點能做多條（忘了有沒有指出是多少條了）直線與已知直線平行，由此產生一種非歐幾何（評論區指出是羅巴切夫斯基幾何）。以及改成：過該點沒有直線能與已知直線平行，就產生另一種非歐幾何，叫黎曼幾何。

這三種幾何已經是不同的公理體繫了，並且都有深入的研究，而差別僅僅在於第五公設，以及由這個差別導致的差別。

再比如ZF公理系統和ZFC公理系統，它們的差別僅僅在於後者比前者多一條公理：選擇公理。

一般來說，不同的公理系統都會有很大的一塊公共部分，這一部分基本沒什麼可質疑的，而不同公理系統的差別都是在於往這個公共部分添加的公理不同。並且，會追求讓這個公共部分最大化。