實係數多項式f對所有實數x恆非負的充要條件是存在函數g,h，f(x)=g(x)^2+h(x)^2?
李炯生線代書上的一題。
f(x),g(x),h(x)都為實係數多項式。
開始我還覺得這是個很難的問題，甚至找到了一篇看起來很恐怖的書 Nonnegative Polynomials and Sums of Squares[1]. 後來才發現，那篇說的是 怪不得恐怖，不過如果你有需要也可以去看看 (如果有閑還看得懂的話). 證明這個問題其實只要看這個 Stack 的回答就行[2]，不得不說，Stack 比知乎專業多了，下次我有數學問題還是去 Stack 問好了.
下面是證明：
右推左顯然成立，下證左推右.
如果多項式 對所有實數
恆非負，那麼根據代數基本定理， 有
，
其中 是實數，
是一次多項式，
是二次多項式且形如
.
反覆應用積化和差(Brahmagupta–Fibonacci identity[3])，即可將 化為 2 個多項式的平方之和.
參考
- ^Nonnegative Polynomials and Sums of Squares https://pdfs.semanticscholar.org/fbb2/4a7caf660372b9306da7a6ef2fc7fac05ec5.pdf
- ^lhf (https://math.stackexchange.com/users/589/lhf), Polynomial equal to sum of squares of polynomials, URL (version: 2017-01-17): https://math.stackexchange.com/q/2101516
- ^Brahmagupta–Fibonacci identity https://en.wikipedia.org/wiki/Brahmagupta%E2%80%93Fibonacci_identity
稍微跑下題。
實係數的情況應該不難， @David KZ 的答案已經寫了，先寫成一次或者二次的因式，注意一次因式一定都是出現偶數次，二次因式一定都是正定的，然後乘開就可以了。
有意思的是，如果換成有理係數的話，這是一個很深刻的問題，是希爾伯特第17問題..參考：
https://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_seventeenth_problem?en.wikipedia.orgEmil Artin在1927年解決了這個問題，是解決得比較早的希爾伯特問題之一..
假設 可以唯一分解為
，其中
,
則 中
必為偶數，
的根為成對的共軛復根，則
謝邀。
充分性是顯然的，所以只需要討論必要性。
寫 ，
是最高的非零項的係數。顯然，因f非負，
,且等號成立當且僅當
。
所以f可以寫成 ,這裡
是實數上f不可約的二次首項為一的因子的乘積，
是一次的首項為一的因子的乘積。
的factor全部是
這種形式的，否則可以分解成一次因子的乘積。
必須是
，
各不相等，的形式。因為假如有至少一個以上的
的分子，把他們確定的根按照大小排序，
（從而f）是一定會嚴格地變號的，這不符合f非負的條件。
加下來注意到恆等式 ，反覆對著這個乘積的分子用（
）就可以得出結論了。
注意到我們順便證明瞭可以以g，h是實數上的多項式達成這個恆等式。
即使是在多項式上，g，h的唯一性也是不成立的。
。
恰好今天在南開高代書上也看到這一題，說一下我的思路，注意到f的根成對出現，可以把f寫成一個多項式f1與其共軛的乘積形式，然後令f1=g+ih，gh為實係數多項式即得
=======
用電腦寫的詳細一些，設 的
個複數根為
則在
上的因式分解為
令 就有
即得
標題能不能把多項式寫上，我在外面一看哪來的蠢問題。。。
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