神祕的根號

　　選自《從一到無窮大》

　　G.伽莫夫著張卜天譯

　　神祕的

　　現在，我們來做點兒高級算術。二二得四，三三得九，四四一十六，五五二十五。因此，四的平方根是二，九的平方根是三，十六的平方根是四，二十五的平方根是五。[1]

　　但一個負數的平方根會是什麼呢？和這樣的表達式有什麼意義嗎？

　　如果你試圖以理性的方式來理解這樣的數，你一定會得出結論說，上述表達式沒有任何意義。我們可以引用12世紀的印度數學家婆什迦羅（Brahmin Bhaskara）的話：“正數的平方是正數，負數的平方也是正數。因此，正數的平方根有兩個：一個正的、一個負的。負數沒有平方根，因爲負數不是平方數。”

　　但數學家都是固執的人。如果有某個看上去沒有意義的東西不斷出現在其公式中，他們就會盡力爲其賦予意義。負數的平方根顯然持續出現在各種地方，無論是過去的數學家所思考的簡單算術問題，還是20世紀在相對論框架內將時間和空間統一起來的問題。

　　最早將負數的平方根這個看似沒有意義的東西寫到公式中的勇士是16世紀的意大利數學家卡爾丹（Cardan）。在討論是否有可能將10分成乘積等於40的兩部分時，卡爾丹表明，雖然這個問題沒有任何有理解，但如果把答案寫成5+

　　和5-這兩個荒謬的表達式就可以了。[2]

　　卡爾丹雖然承認這兩個表達式沒有意義，是虛構和想像的，但還是把它們寫下來了。

　　如果有人敢把負數的平方根寫下來，那麼將10分成乘積等於40的兩部分的問題就迎刃而解了，儘管它們是虛構的。一旦打破堅冰，負數的平方根，或如卡爾丹所稱的“虛數”，就越來越被數學家們頻繁使用了，儘管使用時總是很有保留，並且要找適當的藉口。在著名德國科學家歐拉1770年出版的代數著作中，我們看到了對虛數的大量運用。但作爲緩和，他又加上了如下評論：“所有像、……這樣的表達式都是不可能的或想像中的數，因爲它們表示的是負數的平方根。對於這類數，我們也許可以斷言，它們既不是無，也不比無更多或更少。它們純屬虛幻或不可能。”

　　然而，儘管有這些毀謗和藉口，虛數很快就成了數學中像分數或根式一樣無法避免的東西。如果不使用虛數，幾乎可以說寸步難行。

　　可以說，虛數家族代表着實數的一個虛構的鏡像。正如我們從基本數1可以產生所有實數，我們也可以把當作虛數的基本數（通常用符號i表示），由它產生所有虛數。

　　不難看出，

　　=×=3i,

　　=×=0.246…i，等等，

　　因此每一個實數都有自己的虛數搭擋。我們還能像卡爾丹起初所做的那樣把實數和虛數結合起來，組成像這樣的表達式。這種混合形式通常被稱爲複數。

　　闖入數學領域之後足足兩個世紀，虛數仍然被一張難以置信的神祕面紗包裹着，直到兩位業餘數學家，即挪威的測量員韋塞爾（Wessel）和巴黎的簿記員阿爾岡（Robot Argand），最終對虛數做出了簡單的幾何解釋。

　　按照他們的解釋，一個複數，例如3＋4i，可以像在圖10中那樣表示出來，其中3對應着水平距離，4對應着垂直距離。

　　事實上，所有實數（無論是正是負）都可以用橫軸上的點來表示，所有純虛數都可以用縱軸上的點來表示。我們把一個實數（代表橫軸上的一個點）比如3乘以虛數單位i，就得到了位於縱軸上的純虛數3i。因此，一個數乘以i，在幾何上等價於逆時針旋轉90°。（見圖 10）。

　　圖10

　　如果把3i再乘以i，則須再旋轉90°，結果又回到了橫軸，不過現在位於負數那一邊。因此，

　　3i × i == -3，

　　或

　　= -1。

　　說“i的平方等於-1”遠比說“兩次逆時針旋轉90°便成反向”更容易理解。

　　當然，同樣的規則也適用於混合的複數。把3＋4i乘以i，我們得到

　　（3 + 4i）i = 3i + 4= 3i -4 = -4+ 3i。

　　由圖10立即可以看到，-4 + 3i這個點對應於3 + 4i這個點圍繞原點逆時針旋轉90°。同樣，由圖 10也可以看出，一個數乘以-i不過是它圍繞原點順時針旋轉 90°罷了。

　　如果你仍然覺得虛數蒙有一層神祕的面紗，那就讓我們通過解決一個虛數有實際應用的簡單問題來揭開它吧。

　　有一個喜歡冒險的年輕人，在他曾祖父的遺稿中發現了一張羊皮紙，上面透露了一個藏寶地點。它是這樣寫着的：

　　乘船至北緯、西經　　，[3]即可找到一座荒島。島的北岸有一大片草地，草地上有一顆橡樹和一顆松樹。[4]那裏還能看到一個年代已久的絞架，那是我們曾經用來吊死叛變者的。從絞架走到橡樹，記住走了多少步；到了橡樹之後，向右轉個直角再走這麼多步，在那裏打個樁。然後回到絞架朝松樹走，記住所走的步數。到了松樹之後，向左轉個直角再走這麼多步，在那裏也打個樁。在兩個樁的中間挖掘，即可找到財寶。

　　這些指令清楚而明確。於是，這位年輕人租了一條船駛往南太平洋。他找到了這座島，也找到了橡樹和松樹，但讓他大失所望的是，絞架不見了。此時距離寫下那份遺稿已經過去太長時間，風吹日曬雨淋已使絞架的木頭徹底腐爛，歸於泥土，當初所在的位置一點痕跡也沒有留下來。

　　我們這位愛冒險的年輕人陷入了絕望。憤怒而狂亂的他開始在地上胡亂挖掘。但這個島面積太大了，他的所有努力都付諸東流。一無所獲的他只得返航。如今，那財寶可能還在島上埋着呢！

　　這是一個不幸的故事，但更爲不幸的是，如果這個小夥子懂點數學，特別是懂得如何運用虛數，他或許能夠找到財寶。現在讓我們爲他找找看，儘管對他來說已經太晚了。

　　圖11 用虛數尋寶

　　把這個島看成一個複數平面。過兩樹的根畫出一軸（實軸），過兩樹的中點作另一軸（虛軸）與實軸垂直（見圖11）。取兩樹距離的一半作爲我們的長度單位，於是可以說，橡樹位於實軸上的-1點，松樹位於+1點。我們不知道絞架在哪裏，不妨用希臘字母Γ（這個字母的樣子倒像個絞架！）來表示它的假設位置。由於該位置並不一定在兩根軸中的某一軸上，所以應把Γ看成一個複數，即 Γ = a + bi。

　　現在我們來做些簡單的計算，別忘了前面講過的虛數的乘法規則。如果絞架在Γ，橡樹在－1，則兩者的方位距離爲

　　–1–Γ=–(1＋Γ)。

　　同樣，絞架與松樹的方位距離爲1–Γ。根據上述規則，將這兩段距離分別沿順時針（向右）和逆時針（向左）旋轉 90°，就是把它們分別乘以–i和i，這樣便求出了我們打的兩根樁的位置：

　　第一根樁：(–i)[–(1＋Γ)] + 1= i(Γ + 1) + 1，

　　第二根樁：( +i)(1–Γ)－1= i(1–Γ)–1。

　　由於財寶在兩根樁的正中間，所以我們應求出上述兩個複數之和的一半，即

　　1/2［i(Γ + 1) + 1 + i(1–Γ)–1］

　　=1/2 (iΓ + i + 1 + i–iΓ–1)= 1/2(2i) = i。

　　由此可見，Γ所表示的絞架的未知位置已經從我們的運算過程中消失了。無論絞架在哪裏，財寶都必定在+i這個點上。

　　因此，如果這個年輕人能做這麼一點簡單的數學運算，他就無須在整個島上挖來挖去，而只要在圖11中打×的地方尋找財寶。

　　如果你仍然不相信，要找到財寶完全不需要知道絞架的位置，你可以在一張紙上標記出兩棵樹的位置，再爲絞架假設幾個不同的位置，然後按照羊皮紙上的指令去做。你將總是得到複數平面上對應於+i的那個位置！

　　通過運用-1的平方根這個虛數，我們還找到了另一項隱祕的財寶：我們驚訝地發現，普通的三維空間能與時間結合成受四維幾何學規則支配的四維空間。我們將在接下來的某一章討論愛因斯坦的思想和他的相對論，屆時會回到這一發現。