希爾伯特空間第三節-伯恩斯坦洛賓遜定理

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似乎是不變子空間問題下的一部分，wiki上面能看到一點簡介（不變子空間問題）

所謂線性運算元的不變子空間，就是使得成立的子空間；顯然，和是對於任意線性運算元成立的，因此這兩個子空間稱為平凡的不變子空間。

一個「懸而未解」的問題是，什麼樣的線性運算元存在不平凡的不變子空間。1930年代，馮諾依曼證明瞭緊緻運算元都有非平凡的不變子空間，然而關於不緊緻的線性運算元是否存在非平凡不變子空間這一問題則在很長時間內都沒有好的研究方法。直到1966年，伯恩斯坦與洛賓遜藉助非標準分析手法證明瞭以下的事實。

定理5.3.1，設是內的有界線性運算元，並且存在係數使得是緊緻線性運算元，那麼有非平凡的不變子空間。

（以上內容來自書本）

這一節的內容非常多，一共15個引理，當然最終目標就是上述的伯恩斯坦·洛賓遜定理。

本節之中，用表示有限維度空間的全體，意即如果，則存在使得 $E={sum_{i=1}^{n}{alpha _i t_i|alpha_iin C}}$ ；同理， ${}^*mathscr E$ 表示的是超準域意義下的有限維度空間全體。

之後，為了簡便表達，將滿足存在係數使得是緊緻線性運算元的稱為「多項式緊」的。

設 ${e_i|iin N}$ 是一組正規直交完備基底，則總可以表示為 $sum_{jin N}{a_{jk}e_j}$ 的形式，此時 $left[ a_{jk} ight]$ 是由自然數對到複數的函數。我們將其稱為的行列。

對於行列 $[a_{jk}]$ ，如果對任意的都有 $a_{jk}=0$ ，則稱其為幾乎超對角的。當 $[a_{jk}]$ 是幾乎超對角的行列時，遞歸定義：

$a_{jk}^{(1)}=a_{jk}$ ；

$a_{jk}^{(n+1)}=sum_{iin N}a_{ji}^{(n)}a_{ik}=sum_{ileq k+1}a_{ji}^{(n)}a_{ik}$ ；

引理5.3.1，設 $[a_{jk}]$ 是緊緻運算元的行列，那麼對於任意的 $jin {}^*N-N$ 與，都有 $a_{jk}approx 0$ .

根據傳達原理， $Te_k=sum_{iin {}^*N}{a_{ik}e_i}$ ；由於是緊緻的，是有限元，所以是近準點（緊緻運算元將有限點映射為近準點），因此存在使得；此時，由於是標準元，所以 $y=sum_{iin N}{y_ie_i}=sum_{iin {}^*N}{y_ie_i}$ ，根據畢達哥拉斯定理，有 $Vert Te_k-yVert=sum_{iin {}^*N}{|a_{ik}-y_i|^2}approx 0$ ，因此 $|a_{ik}-y_i|^2approx 0$ ；
由於，因此 $sum_{nin N}|y_n|^2$ 收斂，，並且對於任意的 $iin {}^*N-N$ 都有，因此對於任意 $iin {}^*N-N$ 都有 $a_{ik}approx 0$ .

引理5.3.2，設有界運算元的行列 $[a_{jk}]$ 是幾乎超對角的，則此時的行列是 $left[a_{jk}^{(n)} ight]$

用歸納法證明。假設 $T^{n+1}$ 的行列是 $[b_{jk}]$ ，則：
$egin{array}{ll} sum_{jin N}b_{jk}e_j=T^{n+1}e_k=T^n(Te_k)=T^nleft(sum_{iin N}a_{ik}e_k ight)\ =T^nleft(sum_{ileq k+1}a_{ik}e_i ight)=sum_{ileq k+1}a_{ik}T^ne_i\ =sum_{ileq k+1}a_{ik}left(sum_{jin N}a_{ji}^{(n)}e_j ight)=sum_{jin N}left(sum_{ileq k+1}a_{ji}^{(n)}a_{ik} ight)e_j\ =sum_{jin N}a_{ji}^{(n+1)}e_j end{array}$ 因此， $b_{jk}=a_{jk}^{(n+1)}$ ，引理得證。

引理5.3.3，當 $[a_{jk}]$ 是幾乎超對角行列時，對於，有：

(1) 則 $a_{n+m,n}^{(s)}=0$

(2) $a_{n+m,n}^{(m)}=prod_{i=0}^{m-1}a_{n+i+1,n+i}$

（1）歸納法，當時，，因此由於超對角性， $a^{(1)}_{n+m,n}=0$ ；對於， $a^{(s+1)}_{n+m,n}=sum_{ileq n+1}a^{(s-1)}_{n+m,i}a_{i,n}$ ，此時，因此 $a^{(s-1)}_{n+m,i}=0$ ，綜上 $a^{(s)}_{n+m,n}=0$ .
（2）歸納法，當時命題平凡成立，對於， $egin{array}{ll} a_{n+m+1,n}^{(m+1)}=sum_{ileq n+1}a^{(m)}_{n+m+1,i}a_{i,n}\ =a^{(m)}_{n+m+1,n+1}a_{n+1,n}\ =prod_{i=0}^{m-1}a_{n+i+2,n+i+1}cdot a_{n+1,n}\ =prod_{i=1}^{m}a_{n+i+1,n+i}cdot a_{n+1,n}\ =prod_{i=0}^{m}a_{n+i+1,n+i}\ end{array}$ 綜上得證。

引理5.3.4，設是上的多項式緊緻運算元，其行列為 $[a_{jk}]$ ，是幾乎超對角的，則此時存在無限整數，使得 $a_{ u+1, u}approx 0$ .

設是緊緻的，其行列為 $[b_{jk}]$ ，則 $b_{n+m,n}=0+alpha_1a^{(1)}_{n+m,n}+...+alpha_ma^{(m)}_{n+m,n}=alpha_ma^{(m)}_{n+m,n}=alpha_mprod_{i=0}^{m-1}a_{n+i+1,n+i}$
因為緊緻，根據引理1，取 $u in{}^*N-N$ ，則 $b_{ u+m, u}approx 0$ ，而是有限的，因此必然存在某一個 $a_{n+i+1,n+1}$ 是無窮小。得證。

引理5.3.5，設 $Ein {}^*mathscr E$ （的次元有限），則 $^circ E={^circ x|xin E}$ 是的線性閉子空間。

只需要證明是閉的，也就是說對於任意的 $xapprox yin {}^*({{}^circ}E)$ ，都有 $xin {}^circ E$ ；
此時，根據傳達原理，對於任意，存在 $xin {}^circ E$ 使得 $Vert x-xVert<frac{1}{2n}$ ，因此 $Vert x-yVert<frac1n$ ，令 $K={nin {}^*N|mathbf{(exists yin E)(Vert x-yVert<1/n)}}$ 則其是內集合，並且，因此必然包含無窮大，此時，這也就是說 $xin {}^circ E$ .

不變定理，設是有限維線性空間，其維度為，則對於的線性運算元，存在以下的空間鏈 ${0}=E_0subset E_1subset ...subset E_m=E$ 使得每個都是的不變子空間，並且 .

這是線性代數的內容，在這裡不作證明。方法就是將矩陣在某組基底下相似變形為三角矩陣，此時前個基底總是構成不變子空間。

引理5.3.6，設 $xin l^2,Ein {}^*mathscr E$ ，此時 $xin {}^circ E$ 等價於 .

右到左是顯見的，而對於 $xin {}^circ E$ ，此時存在使得，根據投影的定義， .

對於與有界線性運算元，記為它的維子空間，為到的投影函數；之後，記，並記 $widetilde{T}=Tupharpoonright_{H_ u}$ ，此時是上的線性運算元，並且 .因為是有限維的，所以它的任意內子集也是有限維空間。

引理5.3.7，設是的線性子空間，並且，則有 $T[{}^circ E]subseteq {}^circ E$ .

也就是說要證明對於 $xin {}^circ E$ ，都有 $Txin {}^circ E$ ；

設 $xin {}^circ E$ ，根據引理6，，由的連續性有，因此是近準點，（第一節定理）；
綜上，，故 $Txin {}^circ E$ .

引理5.3.8，設 $E,Fin {}^*mathscr E$ 並且，，那麼此時 ${}^circ Esubseteq {}^circ F$ ，並且對於 $x,yin {}^circ F$ 總存在 $lambdain C,zin {}^circ E$ 使得或 .

${}^circ Esubseteq {}^circ F$ 顯見。之後，取，那麼因為，所以一定存在 $lambda in {}^*C$ 與，使得或 .問題在於這裡的與不一定滿足條件。以下分類討論。

情況一，有限；
此時，因此 ${}^circ z={}^circ y-{}^circ{(lambda x)}=y-{}^circ lambda x$ 這也就是說 $y={}^circ lambda x+{}^circ z$ ，並且 ${}^circ lambdain C,{}^circ zin E$ .情況二，無限；此時 $x=frac {y}lambda-frac zlambda$ ，然而因為，所以 $frac zlambdain E$ ，因此又可以歸於情況一。k

伯恩斯坦·洛賓遜定理

伯恩斯坦洛賓遜定理的準備工作至此已經完成，下面開始著手證明。固定並且，考慮集合 $A={x,Tx,T^2x,...}$ ，並分類討論：

情況一，不是線性獨立；這個時候顯然並且不平凡。

以下假定線性獨立，此時可以定義 $F=overline{igcup_{iin N} ext{span}(x,...,T^ix)}$ ，則是的線性閉子空間。

情況二，；這個時候對於，一定存在並且 $a_iin ext{span}(x,...,T^ix)$ ，此時 $Ta_iin ext{span}(x,...,T^{i+1}x)$ ，因此並且，所以 .

情況三，，此時可以由導出一組正規直交基底 ${e_1,e_2,...}$ ，此時考慮關於這一組基底的行列 $[a_{jk}]$ ，由於 $Te_k=sum_{j=1}^{infty}{a_{jk}e_j}=sum_{j=1}^{k+1}{a_{jk}e_j}$ ，因此 $[a_{jk}]$ 幾乎是超對角的。

由於多項式緊緻，因此根據引理1，存在 $uin {}^*N-N$ ，使得 $a_{ u+1, u}approx 0$ .將這個代入與；

引理5.3.9，設是有限的，那麼 .

因為 $H_ u= ext{span}(e_1,...,e_ u)$ ，則 $xi=sum_{k=1}^{ u}{alpha_ke_k}$ ，因為 $[a_{jk}]$ 是幾乎超對角的，所以 $Txi=sum_{k=1}^{ u}{alpha_kTe_k}=sum_{j=1}^{ u+1}left(sum_{k=1}^{ u}{alpha_ka_{jk}} ight)e_j$ ，因此 $P_ u Txi=sum_{j=1}^{ u}left(sum_{k=1}^{ u}{alpha_ka_{jk}} ight)e_j$
相減得 $Vert Txi-widetilde{T}xiVert=Vert Txi-T_ uxiVert=|alpha_ u|cdot |a_{ u+1, u}|approx 0$ .

引理5.3.10，如果是有限的，那麼對於任意的都有 $T^nxiapprox widetilde{T}^nxi$ .

用歸納法， $T^{n+1}xi=T(T^{n}xi)approx widetilde T(widetilde T^{n}xi)=widetilde T^{n+1}xi$ .

設是使緊緻的多項式。

推論5.3.11，在引理10的條件下， ,

推論5.3.12，在 ${}^*l^2$ 上局部連續。

，因此 .

引理5.3.13， .

因為線性獨立，所以，因此，同時根據引理12，有 .根據引理11，有，綜上 .

根據不變定理，因為是有限維空間上的線性運算元，所以存在空間列 ${0}=E_0subset E_1subset...subset E_ u=H_ u$ 滿足且 .

定義超實數點列 ${r_j=Vert p(T_ u)x-p(T_ u)P_{E_j}xVert}$ ，則 $P_{E_0}=0$ ，，同時因為 $P_{E_ u}=P_{H_ u}=P_ u$ ，因此 $r_ u=Vert p(T_ u)x-p(T_ u)P_{E_ u}xVertapprox 0$ .

設，則 $r_ u<frac 12r$ ，因此存在使得 $r_mu<frac12r<r_{mu-1}$ .（稍微有點沒看懂，直接抄上來了）

根據引理5與引理7， ${}^circ E_j$ 分別是的不變子空間，而以下將證明這些不變子空間之中至少有一個不是平凡的。具體地說， ${}^circ E_{mu-1}$ 與 ${}^circ E_mu$ 之中至少有一個不是平凡的。

引理5.3.14， $x otin {}^circ E_{mu-1}$ ；因此， ${}^circ E_{mu-1} eq l^2$

如果 $xin {}^circ E_{mu-1}$ ，那麼 $xapprox P_{E_{mu-1}}x$ ，然而根據引理12，這將導致 $r_{mu-1}=Vert p(T_ u)x-p(T_ u)P_{E_{mu-1}}xVertapprox 0$ ，與 $r_{mu-1}>frac12r>0$ 矛盾。

引理5.3.15， ${}^circ E_mu eq{0}$

設 $y=p(T_ u)P_{E_mu}x$ ，則是不變的，因此根據引理11， $yapprox p(T)P_{E_mu}x$ ；因為緊緻而 $P_{E_mu}x$ 有限，因此 $p(T)P_{E_mu}x$ 是近準點，從而也是近準點。
設則 $zin {}^circ E_mu$ ，只需證明即可。

如果，那麼，因此，與 $r_mu<frac12 r$ 矛盾。

伯恩斯坦·洛賓遜定理

根據引理15，唯一的反例是 ${}^circ E_{mu-1}={0}$ 且 ${}^circ E_mu=l^2$ 的情況，然而因為 $dim(E_mu)=dim(E_{mu-1})+1$ ，因此根據引理8，對於任意的必然存在與 $zin {}^circ E_{mu-1}={0}$ 使得或，然而這是不可能的。
綜上， ${}^circ E_mu$ 與 ${}^circ E_{mu-1}$ 二者之間至少有一者是非平凡的。