PWM调制的一点儿解释，关于参考波比较方式和空间向量方式。

以前写了一点关于buck变换器的东西，然后想继续一下控制器设计的内容。现在变卦了……正好最近遇到一些和调制有关的问题，所以想谈谈pwm。

PWM 基本上是电力电子必备技术。它有一点比较特殊就是，弄明白很费时，但多数人不去钻研它干得也很好。华中科大的教授蒋栋新近有本书专门讲PWM调制，值得去看一看。

我这里想聊聊三相变换器PWM相关的话题：空间向量（SVPWM）和一般参考波（carrier based PWM）方式的对应关系。

关于变换器电路，基本的PWM 知识这里就不多说了，姑且默认是大家已有的知识。重点是对一个SVPWM 方式来说，等效的carrier based PWM 的参考波 reference是什么样的。

注：这里carrier based pwm指那种通过比较参考波reference 和载波三角波carrier信号获得调制波的方式。

后面谈到变换器以一个三相，两电平交-直流变换器为依据（反过来用就是逆变器）。具体电路就不画了。以直流侧电容中点为参考点。那么交流侧输出电压是+VDC/2或者是-Vdc/2。后面为了简单起见，假定直流电容的电压是2，所以交流侧是+1或者-1。

对于carrier based PWM 来讲，每一相要比较一个正弦refrence和三角波。这里先放置一个结论： PWM输出信号中，存在一个和reference完全相同的成分，也称基波成分，同时还有大量载波（carrier）频率及其倍频的谐波。

这里关心的是基波成分，所以以后会有如下这种简单化的表达「PWM 输出为一个三倍频率的正弦波」，这里PWM输出显然不可能是正弦波，这种说法指的是基波成分为一个正弦波。

还有另外一个结论：PWM调制是线性的，只要reference信号在carrier信号幅值之内。也就是说，如果两个正弦信号及其加和三个信号都在carrier幅值之内，那么三者对应的pwm输出也满足加和关系。

所以如果reference信号是一个0.8的正弦波信号（注意，电容电压是2，-1 到+1），那么输出也是一个0.8的正弦信号。但如果reference是1.1，输出就不是1.1了，因为超过了线性区域。

如此以来，有个问题就是，三相逆变器输出端最大的相电压是多少？

粗看这个问题，答案很简单，是1。因为reference的幅值不能超过1，所以最大的正弦参考波就是1，那么对应的相电压也是1。其实不然，能够到2/sqrt(3),大约是1.15。这个结论可以很简单地证明.

这里有一个很巧妙的方法就是注入三次谐波。对于三相负载来讲，只能直接看到线线电压，存在一种可能性就是，每一相的电压都不超过1，但对应的相电压却高于1。比如如下的三个参考电压：

$v_a=1.15cos(omega t) + 0.15 cos(3 omega t)\ v_b=1.15cos(omega t - 2 pi/3) + 0.15 cos(3 omega t)\ v_c=1.15cos(omega t + 2pi/3) + 0.15 cos(3 omega t)$

这三个电压都不超过1，而且都是1.15的正弦波加上一个3倍频率的成分。高明之处在于，对于3相电来讲，三次谐波在每一相中是相同的，所以线线电压中三次谐波就被抵消掉了，负载只能看到一个等同于1.15的基波。这就是为什么相电压可以超过1的原因。

注意这里的注入采用了三次谐波，仍然是一个正弦波。实际上只要三倍频就可以。而SVPWM 可以看作carrier based pwm加一个恰当的三倍频谐波。

SVPWM这里假定大家已经熟悉，这里简单说一下。首先要把三相电变换到两相静止坐标平面，交流侧输出电压一共8种组合，其中如果输出是（-1， -1， -1）和（+1， +1， +1）的话对应的点是原点，剩下6种组合分布在一个正六边形的6个顶点上，且六边形边长是4/3。以三相交流电对应向量处于0～pi/3为例。

显然，变换器输出只能是Vx或Vy,再加上两个0矢量。如果要产生图中的矢量，那么只有用拼凑的方式，获得一个时间平均意义上的目标矢量。在一个时间段Ts/2内，VxVy占用时间分别为Tx, Ty。为什么这里用Ts/2而不是直接使用Ts是有一些计算上的便利，后面会看到。显然Tx+Ty<=Ts/2.而且当二者之和小于Ts/2时，剩下的时间需要用0矢量来填充。所以一个TS/2内，变换器输出的矢量分别为（-1, -1, -1）->(1, -1, -1)->(1, 1, -1)->(1, 1, 1)。这个顺序有个好处就是每次只有翻转一个开关的状态，开关损耗比较小。下一个Ts/2内，只要反方向走一遍就可以了，这样就完成了一个完整的开关周期Ts。具体各相电压波形如下。

如果电压向量长度是V1的话，那么

$Tx=frac{2}{sqrt{3}}V1 cos( heta +pi/6) frac{1}{4/3} frac{Ts}{2}\ Ty=frac{2}{sqrt{3}}V1 sin( heta) frac{1}{4/3} frac{Ts}{2}$

对于这样的SVPWM信号，完全可以使用carrier based PWM 等效替代。有个假设是开关频率足够高，那么在一个开关周期内，reference信号可以视作常值。从上图也可以看出来，变换器输出电压ac, bc, cc 可以视作是参考信号va, vb, vc 和三角波比较得来。另外还可以注意到，图中所示T000=T111=T0/2, T0为半周期中，零向量的时间长度。如果把va,vb,vc上下移动，不改变线电压也不改变T0但可以改变T000/T0的比例。下面一个问题是，等效的va，vb，vc是什么？

这个推导没什么难度，不超过高中知识，但是非常繁琐，所以这里只是捡一些关键的结论说一下就是了。

假定

先从简单的vc入手。由几何关系：

$frac{T111}{Ts/2} = frac{vc+1}{2}$

$vc=-1+2 frac{1-gamma}{Ts/2} [Ts/2-(Tx+Ty)]\ = -1 + 2 (1-gamma) [1 - M frac{sqrt{3}}{2} cos( heta-pi/6)]$

这里M=V1/（Vdc/2）,就是调制比，如果假定dc电压是2,那么M=V1。最后结论是

$vc=V1cos( heta + 2pi/3)+\ (1-2 gamma) +sqrt{3} gamma V1 cos( heta -pi/6)-V1 cos heta$

第一行是c相电压正弦分量，后面是一个额外附加的电压。如果继续上面的推导可以看出

$va=V1cos( heta )+\ (1-2 gamma) +sqrt{3} gamma V1 cos( heta -pi/6)-V1 cos heta\ vb=V1cos( heta -2pi/3)+\ (1-2 gamma) +sqrt{3} gamma V1 cos( heta -pi/6)-V1 cos heta$