PWM調製的一點兒解釋，關於參考波比較方式和空間向量方式。

以前寫了一點關於buck變換器的東西，然後想繼續一下控制器設計的內容。現在變卦了……正好最近遇到一些和調製有關的問題，所以想談談pwm。

PWM 基本上是電力電子必備技術。它有一點比較特殊就是，弄明白很費時，但多數人不去鑽研它幹得也很好。華中科大的教授蔣棟新近有本書專門講PWM調製，值得去看一看。

我這裡想聊聊三相變換器PWM相關的話題：空間向量（SVPWM）和一般參考波（carrier based PWM）方式的對應關係。

關於變換器電路，基本的PWM 知識這裡就不多說了，姑且默認是大家已有的知識。重點是對一個SVPWM 方式來說，等效的carrier based PWM 的參考波 reference是什麼樣的。

註：這裡carrier based pwm指那種通過比較參考波reference 和載波三角波carrier信號獲得調製波的方式。

後面談到變換器以一個三相，兩電平交-直流變換器為依據（反過來用就是逆變器）。具體電路就不畫了。以直流側電容中點為參考點。那麼交流側輸出電壓是+VDC/2或者是-Vdc/2。後面為了簡單起見，假定直流電容的電壓是2，所以交流側是+1或者-1。

對於carrier based PWM 來講，每一相要比較一個正弦refrence和三角波。這裡先放置一個結論： PWM輸出信號中，存在一個和reference完全相同的成分，也稱基波成分，同時還有大量載波（carrier）頻率及其倍頻的諧波。

這裡關心的是基波成分，所以以後會有如下這種簡單化的表達「PWM 輸出為一個三倍頻率的正弦波」，這裡PWM輸出顯然不可能是正弦波，這種說法指的是基波成分為一個正弦波。

還有另外一個結論：PWM調製是線性的，只要reference信號在carrier信號幅值之內。也就是說，如果兩個正弦信號及其加和三個信號都在carrier幅值之內，那麼三者對應的pwm輸出也滿足加和關係。

所以如果reference信號是一個0.8的正弦波信號（注意，電容電壓是2，-1 到+1），那麼輸出也是一個0.8的正弦信號。但如果reference是1.1，輸出就不是1.1了，因為超過了線性區域。

如此以來，有個問題就是，三相逆變器輸出端最大的相電壓是多少？

粗看這個問題，答案很簡單，是1。因為reference的幅值不能超過1，所以最大的正弦參考波就是1，那麼對應的相電壓也是1。其實不然，能夠到2/sqrt(3),大約是1.15。這個結論可以很簡單地證明.

這裡有一個很巧妙的方法就是注入三次諧波。對於三相負載來講，只能直接看到線線電壓，存在一種可能性就是，每一相的電壓都不超過1，但對應的相電壓卻高於1。比如如下的三個參考電壓：

$v_a=1.15cos(omega t) + 0.15 cos(3 omega t)\ v_b=1.15cos(omega t - 2 pi/3) + 0.15 cos(3 omega t)\ v_c=1.15cos(omega t + 2pi/3) + 0.15 cos(3 omega t)$

這三個電壓都不超過1，而且都是1.15的正弦波加上一個3倍頻率的成分。高明之處在於，對於3相電來講，三次諧波在每一相中是相同的，所以線線電壓中三次諧波就被抵消掉了，負載只能看到一個等同於1.15的基波。這就是為什麼相電壓可以超過1的原因。

注意這裡的注入採用了三次諧波，仍然是一個正弦波。實際上只要三倍頻就可以。而SVPWM 可以看作carrier based pwm加一個恰當的三倍頻諧波。

SVPWM這裡假定大家已經熟悉，這裡簡單說一下。首先要把三相電變換到兩相靜止坐標平面，交流側輸出電壓一共8種組合，其中如果輸出是（-1， -1， -1）和（+1， +1， +1）的話對應的點是原點，剩下6種組合分布在一個正六邊形的6個頂點上，且六邊形邊長是4/3。以三相交流電對應向量處於0～pi/3為例。

顯然，變換器輸出只能是Vx或Vy,再加上兩個0矢量。如果要產生圖中的矢量，那麼只有用拼湊的方式，獲得一個時間平均意義上的目標矢量。在一個時間段Ts/2內，VxVy佔用時間分別為Tx, Ty。為什麼這裡用Ts/2而不是直接使用Ts是有一些計算上的便利，後面會看到。顯然Tx+Ty<=Ts/2.而且當二者之和小於Ts/2時，剩下的時間需要用0矢量來填充。所以一個TS/2內，變換器輸出的矢量分別為（-1, -1, -1）->(1, -1, -1)->(1, 1, -1)->(1, 1, 1)。這個順序有個好處就是每次只有翻轉一個開關的狀態，開關損耗比較小。下一個Ts/2內，只要反方向走一遍就可以了，這樣就完成了一個完整的開關周期Ts。具體各相電壓波形如下。

如果電壓向量長度是V1的話，那麼

$Tx=frac{2}{sqrt{3}}V1 cos( heta +pi/6) frac{1}{4/3} frac{Ts}{2}\ Ty=frac{2}{sqrt{3}}V1 sin( heta) frac{1}{4/3} frac{Ts}{2}$

對於這樣的SVPWM信號，完全可以使用carrier based PWM 等效替代。有個假設是開關頻率足夠高，那麼在一個開關周期內，reference信號可以視作常值。從上圖也可以看出來，變換器輸出電壓ac, bc, cc 可以視作是參考信號va, vb, vc 和三角波比較得來。另外還可以注意到，圖中所示T000=T111=T0/2, T0為半周期中，零向量的時間長度。如果把va,vb,vc上下移動，不改變線電壓也不改變T0但可以改變T000/T0的比例。下面一個問題是，等效的va，vb，vc是什麼？

這個推導沒什麼難度，不超過高中知識，但是非常繁瑣，所以這裡只是撿一些關鍵的結論說一下就是了。

假定

先從簡單的vc入手。由幾何關係：

$frac{T111}{Ts/2} = frac{vc+1}{2}$

$vc=-1+2 frac{1-gamma}{Ts/2} [Ts/2-(Tx+Ty)]\ = -1 + 2 (1-gamma) [1 - M frac{sqrt{3}}{2} cos( heta-pi/6)]$

這裡M=V1/（Vdc/2）,就是調製比，如果假定dc電壓是2,那麼M=V1。最後結論是

$vc=V1cos( heta + 2pi/3)+\ (1-2 gamma) +sqrt{3} gamma V1 cos( heta -pi/6)-V1 cos heta$

第一行是c相電壓正弦分量，後面是一個額外附加的電壓。如果繼續上面的推導可以看出

$va=V1cos( heta )+\ (1-2 gamma) +sqrt{3} gamma V1 cos( heta -pi/6)-V1 cos heta\ vb=V1cos( heta -2pi/3)+\ (1-2 gamma) +sqrt{3} gamma V1 cos( heta -pi/6)-V1 cos heta$