這個問題問得有問題！應該這樣問：正n邊形能尺規做圖的有哪些。

高斯獨立做出了尺規做圖17等分圓周，也徹底解決了尺規做圖等分圓周的問題。

高斯的結論與「費馬素數有關」。

費馬素數與費馬數有關。形如Fk=2^(2^k)+1的數（k=0,1,2,3,...)被稱為費馬數（其中的2^(2^k)讀作：2的2的k次方次方）。當費馬數是素數的時候，就被稱為費馬素數。

目前已知的費馬素數一共有5個，即前5個費馬數——Fk（k=0,1,2,3,4)：

F0=3

F1=5

F2=17

F3=257

F4=65537

人們發現當k=5,6,7,...乃至更大時，Fk都不是素數。迄今為止，人們再沒有找到更多的費馬素數，而且也無法證明：是不是除了這5個數之外，再沒有別的費馬素數。

高斯的結論，等分圓周的數字n必須是這樣的數：這個數可以分解成若干個因數，這些因數可以是若干個費馬素數，所有的費馬素數最多只能出現一次（也可以不出現），因數還可以包含若干個2。

為了好理解，我可以舉出幾個符合高斯這一定理的實例，我們已知費馬素數有五個：3，5，17，257，65537。以下這幾個n可以做尺規做圖等分圓周：

n=2×3×17

n=2×2×5×257×65537

n=2×2×2×2×5×257

n=2×2×3×5×257

……

中學講到三角函數之時，告訴大家了許多「特殊角」，所謂特殊角，是指這個角的各個三角函數可以用根號或分數來表示的角度，比如：0°，30°，45°，60°，90°，180°，等等。

我告訴你個秘密：解決尺規做圖等分圓周問題實際也等同於解決「哪些角是特殊角」的問題，即：對於一個可以尺規做圖等分圓周的數字n，與之對應的角度360°/n也同時是特殊角。用高斯的這個結論，在已知費馬素數的範圍內，我們可以毫無遺漏地找到所有特殊角。

中學常用到的那些特殊角都可以用高斯的理論來解釋：0°=360°/2^∞，30°=360°/2×2×3，45°=360°/2×2，60°=360°/2×3，90°=360/2×2，……，有了高斯的理論，我們可以找到許多不同於中學講到的特殊角。

作為本文的結束，最後提一個小插曲，以前的一本書《世界之最》，書中講到了世界上「用紙最多的數學手稿」，這個數學手稿解決的是尺規做圖65537等分圓周的問題，據說裝了滿滿一大皮箱。

答：在這裡，我能給出結果，但我無法給出完整的證明。

在100多年前，大數學家高斯，已經給出了正n邊形，能尺規作圖的條件。

用語言描述是：只要n是2的冪方數和互異費馬數的乘積，那麼正n邊形可尺規作圖。

費馬數來源於法國數學家費馬，在1640年提出的一個猜想：說具有以下形式的自然數，均為素數。

其中n為非負整數，費馬本人驗證了前面5個費馬數，都是素數。

第六個數太大，在沒有計算機的年代，沒有可靠辦法進行驗證。

直到1732年，瑞士大數學家歐拉，分解了F5=641×6700417，終結了費馬數猜想。

後來數學家發現，除了前五個費馬數是素數外，再也沒有發現其他費馬數是素數。

根據高斯給出的判據，可以得知：

1、當m=0，k=1，i=0時，n=3；

2、當m=2，k=0時，n=4；

3、當m=0，k=1時，n=5；

4、當m=1，k=1，i=0時，n=6；

5、當m=3，k=0時，n=8；

……

逐步算下去10，12，15，16，17……都可尺規作圖。

最小的不能尺規作圖的正多邊形為正七邊形，其他很多都可以尺規作圖，只要用高斯給出的判據去驗證就行。

好啦！我的答案就到這裡，喜歡我們答案的讀者朋友，記得點擊關注我們——艾伯史密斯！

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