工程電磁場

場量分析

標量場 :

等值面：量值相等的面
方嚮導數：標量場在某一點的變化率 $left.frac{partial u}{partial l } ight|_{M0}=lim_{M_0M o0}{frac{u(M)-u(M_0)}{M_0M}}$
梯度：最大的方向性導數，方向為等值面增加的法線方向 $vec{n} left.frac{partial u}{partial n } ight|_{M0}=vec{n} lim_{M_0N o0}{frac{u(N)-u(M_0)}{M_0N}}$ $gradu=frac{partial u}{partial n}vec{n}$
梯度與方向性導數的關係： $frac{partial u}{partial l}=graducdothat{l}$ （梯度在上的投影）梯度的計算：（直角坐標系下）

$gradu=vec{a_i}frac{partial u}{partial x}+vec{a_j}frac{partial u}{partial y}+vec{a_k}frac{partial u}{partial z}= abla u$ 其中 $abla=vec{a_i}frac{partial }{partial x}+vec{a_j}frac{partial }{partial y}+vec{a_k}frac{partial }{partial z}$

梯度的線積分與路徑無關

$oint_{}{ abla ucdot dvec{l}}=0$

矢量場

有向面元
通量
在給定一點P的散度： $divvec{A}=lim_{ riangle v o0}{frac{oint_{s}{vec{A}cdot dvec{s}}}{ riangle v}}$ （當越來越小；封閉面的面積也越來越小；倆個小量相除；散度是反映該點的源特性）
高斯定理： $int_{v}divvec{A}dv=oint_{s}{vec{A}cdot dvec{s}}$
散度的計算：（直角坐標系下）

$divvec{A}=frac{partial A_x}{partial x}+frac{partial A_y}{partial y}+frac{partial A_z}{partial z}= abla cdot vec{A}$

矢徑 $vec{r}=xvec{a_x}+yvec{a_y}+zvec{a_z}$

環流： $oint_l {vec{A}cdot dvec{l}}$
環流密度：給定一點P;以為周界的的正法線方向為；與構成右手螺旋關係。

$lim_{ riangle s o0}{frac{oint_{l}{vec{A}cdot dvec{l}}}{ riangle s}}$

旋度：在給定一點P;大小為最大的環流密度；方向為取得最大環流密度時的法線方向

$(rotvec{A})cdot vec{n}=lim_{ riangle s o0}{frac{oint_{l}{vec{A}cdot dvec{l}}}{ riangle s}}=(rotvec{A})_{n}$ (旋度在方向上的投影表示該點面元的方向為的環流密度。

旋度的計算：（直角坐標系下）：

$rotvec{A}=vec{a_x}(frac{partial A_z}{partial y}-frac{partial A_y}{partial z})+vec{a_y}(frac{partial A_x}{partial z}-frac{partial A_z}{partial x})+vec{a_z}(frac{partial A_y}{partial x}-frac{partial A_x}{partial y})= left| egin{array}{ccc} vec{a_x} &vec{a_y} & vec{a_z} \ frac{partial}{partial x} & frac{partial}{partial y} & frac{partial}{partial z}\ A_x & A_y & A_z end{array} ight|= abla imesvec{A}$

左循環

斯托克斯定理：把面積分與線積分聯繫在一起

$int_{s}{rotvec{A} cdot dvec{s}}=oint_l{vec{A}cdot dvec{l}}$

幾個重要公式

2個恆等式

梯無旋；梯度是一個矢量；如果一個矢量的旋度為0則該矢量可以用一個標量場的梯度來代替。如；則可以換成電位的梯度。證明： $int_s { abla imes( abla u)}cdot dvec{s}=oint_{l}{ abla ucdot dvec{l}}$ 梯度是一個矢量；根據高斯定理可得這個等式。
旋無散；旋度是一個矢量；如果一個矢量的散度為0則該矢量可以用一個矢量場的旋度來代替。如 ; 則可以換成失位的旋度。證明： $int_v{ ablacdot( abla imesvec{F})dv}=oint_s{ abla imesvec{F}}cdot dvec{s}=oint_l{vec{F}}cdot dvec{l} =0$ 第一個等式是高斯定理；第二個是斯托克斯定理；第二項是閉合曲面；閉合曲面的周界為0

拉普拉斯運算

對梯度求散度 ;標量場的拉普拉斯運算

$abla^2u= ablacdot( abla u)=frac{partial^2 u}{partial x^2}+frac{partial^2 u}{partial y^2}+frac{partial^2 u}{partial z^2}$

矢量場的拉普拉斯運算

$abla^2vec{F}= abla( ablacdotvec{F})- abla imes( abla imesvec{F})$

在直角坐標系下

Helamholxz定理

在有限的區域內的任一矢量場，由它的散度，旋度和邊界條件唯一確定

麥克斯韋方程組

四個物理量：電場強度單位，單位試驗電荷所受的電作用力；

電通量密度（電位移）單位，討論媒質的電場引入的輔助量;

磁感應強度（磁通量密度）單位，由畢薩定律得到;

磁場強度單位，輔助量。

媒質本身性質決定本構關係。

在麥克斯韋之前

庫倫定律（實驗定律）： $vec{F}=vec{a_R}frac{q_1q_2}{4pivarepsilon R^2}$

高斯定理（推論）： $oint_s{vec{D}cdot dvec{s}}=sum q$ ;由庫倫定律求出在得到再求通量

電荷守恆定律（推論）： $oint_s {vec{J} cdot dvec{s}}=-frac{partial q}{partial t}$

恆定電流的電流連續性方程（推論）： $oint_s {vec{J} cdot dvec{s}}=0$

畢奧-薩伐爾定律（實驗定律）： $vec{B}=frac{mu_0}{4pi}int_l{frac{I dvec{l} imes vec{a_r}}{r^2}}$

磁通連續性原理（推論）： $oint_s{vec{B}cdot dvec{s}}=0$

安培環路定理（推論）： $oint_s{vec{H}cdot dvec{l}}=sum I$

法拉第電磁感應定律（實驗定律）： $zeta_{in}=-frac{partial}{partial t}int_s{vec{B}cdot dvec{s}}$ ;變換的磁場可以產生電場。

存在矛盾：

矛盾

於是引入假象的位移電流： $i_d=frac{partial vec{D}}{partial t}$

電流和變化的電場是產生磁場的源

麥克斯韋的微分形式

$abla imes vec{H}=vec{J}+frac{partial{vec D}}{partial t}$ 隨時間變化的電場（位移電流）和傳導電流作為磁場的漩渦源

$abla imes vec{E}=-frac{partial vec{B}}{partial t}$ 隨時間變化的磁場是產生電場的漩渦源；法拉第電磁感應定律。

磁場沒有散度源；磁通量連續性。

電荷是產生電場的通量源，高斯定理。

麥克斯韋方程組的積分形式

對方程1兩邊取面積分

同理可得方程2

兩邊同時體積分得到方程3

同理可得方程4： $oint_s{vec{D} cdot d vec{s}}=int_v{ ho dv}$

電荷守恆定律和電流連續性方程

$abla cdot vec{J}=-frac{partial q}{partial t}$ (微分形式）； $abla cdot(vec{J}+frac{partial{vec D}}{partial t})=0$ (微分形式);

對方程（1）兩邊取散度； $abla cdot( abla imes vec{H})= abla cdot(vec{J}+frac{partial{vec D}}{partial t})equiv0$

所以 $abla cdot(vec{J}+frac{partial{vec D}}{partial t})=0$ ；即 $abla cdot vec{J}+frac{partial{( ablacdotvec D)}}{partial t}=0$ ;而；

所以 $abla cdot vec{J}=-frac{partial q}{partial t}$

因此不必把電荷守恆定律和電流連續性方程列入麥克斯韋。

靜態場

找准方程；無源空間：。

第1方程是 $abla imes vec{H}=vec{J}+frac{partial{vec D}}{partial t}$ ；首先題目沒給出；關鍵是如何從偏微分方程求出。反過來如果是已知要求，根據 $abla imes vec{E}=-frac{partial vec{B}}{partial t}$ 也解不出來。關鍵是要先解決掉旋度運算。