不同坐標系下拉格朗日量、速度與加速度分量的表示

質點系的拉格朗日量

現在介紹質點系的拉格朗日量的一般表述為： ，其中動能 一般依賴於廣義坐標、廣義速度，而勢能僅僅是坐標的函數.

$Tleft( q_{i},dot{q_{i}} ight),Vleft( q_{i} ight)$

其中 $q_{i},dot{q_{i}}$ 分別為廣義坐標與廣義速度.

對 個自由度的系統，拉格朗日量都可以表示成： $Lleft( q_{1},q_{2},cdots,q_{s},dot{q_{1}},dot{q_{2}},cdots,dot{q_{s}},t ight)$

簡記為： .

對於質點系而言， $L=sum_{a}frac{m_{a}v_{a}^{2}}{2}-V$ ,當用廣義坐標 $q_{i}$ 代替笛卡爾坐標時，可進行如下轉換： $m{x_{a}}=f_{a}left( q_{1},q_{2},cdots,q_{s} ight),m{dot{x}_{a}}=sum_{k}frac{partial f_{a}}{partial q_{k}}dot{q_{k}}$

顯然該坐標不顯含時間 ，而僅僅依賴於廣義坐標.

由於 $m{v_{a}}=m{dot{x}_{a}}$ ，從而有：

$v_{a}^{2}=sum_{k}frac{partial f_{a}}{partial q_{k}}dot{q_{k}}sum_{n}frac{partial f_{a}}{partial q_{n}}dot{q_{n}}=sum_{kn}frac{partial f_{a}}{partial q_{k}}frac{partial f_{a}}{partial q_{n} }dot{q_{k}}dot{q_{n}}=sum_{kn}g_{kn}left( q ight)dot{q_{k}}dot{q_{n}}$

從而拉格朗日量為： $L=frac{1}{2}sum_{kn}g_{kn}left( q ight)dot{q_{k}}dot{q_{n}}-Vleft( q ight)$ .

顯然其係數 $g_{kn}$ 為度規，證明如下：

由於 $v^{2}=left( frac{ds}{dt} ight)^{2}=frac{ds^{2}}{dt^{2}}$ ，可知 $ds=g_{i}dx^{i}$ ,從而有 $ds^{2}=g_{ij}dx^{i}dx^{j}$ ,因此可得

$v^{2}=g_{ij}frac{dx^{i}}{dt}frac{dx^{j}}{dt}$ ,由於 $frac{dx^{i}}{dt}leftrightarrow dot{q}^{i}$ ,為了滿足愛因斯坦求和約定才將指標上提，顯然有

$dot{q}_{i}=dot{q}^{i}$ ,顯然得出係數為度規.

在笛卡爾坐標系中： $ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}$ ,進而有

$L=frac{m}{2}left( dot{x}^{2}+dot{y}^{2} +dot{z}^{2} ight)-V$

在柱坐標系中： $ds^{2}=dr^{2}+r^{2}dvarphi^{2}+dz^{2}$ 進而有

$L=frac{m}{2}left( dot{r}^{2}+r^{2}dot{varphi}^{2} +dot{z}^{2} ight)-V$

在球坐標系中： $ds^{2}=dr^{2}+r^{2}d heta^{2}+r^{2}sin^{2} heta dvarphi^{2}$ 進而有

$L=frac{m}{2}left( dot{r}^{2}+r^{2}dot{ heta}^{2} +r^{2}sin^{2} hetadot{varphi}^{2} ight)-V$

坐標高階導數

先從二維直角坐標到二維極坐標開始，坐標一階導數 ,在極坐標下的表示形式有：

$dm{s}=g_{i}dx^{i}=hat{e}_{r}dr+hat{e}_{ heta}rd hetaRightarrow frac{dm{s}}{dt}=hat{e}_{r}dot{r}+hat{e}_{ heta}rdot{ heta}=m{v_{r}}+m{v_{ heta}}$ ,我們知道一般的曲線坐標系的基矢量都依賴於時間，即對時間求導不為零.

從而有： $frac{d^{2}m{s}}{dt^{2}}=frac{dm{v_{r}}}{dt}+frac{dm{v_{ heta}}}{dt}$

分析第一個式子： $frac{dm{v_{r}}}{dt}=frac{d}{dt}left( hat{e}_{r}dot{r} ight)=ddot{r}hat{e}_{r}+dot{r}frac{d}{dt}hat{e}_{r}$

分析第二個式子： $frac{dm{v_{ heta}}}{dt}=frac{d}{dt}left( hat{e}_{ heta}rdot{ heta} ight)=rddot{ heta}hat{e}_{ heta}+dot{r}dot{ heta}hat{e}_{ heta}+rdot{ heta}frac{d}{dt}hat{e}_{ heta}$

根據上一篇文章：Young Quantum：不同坐標系下基矢量的關係

且根據笛卡爾坐標系下的基矢量不隨時間變化，即時間導數為零這一條件，可以將曲線坐標系的基矢量變換到笛卡爾坐標系下，可用矩陣形式表示，其變換矩陣令為 .

先對二維極坐標而言有： $left[ egin{array}{c} hat{r} \ hat{ heta}\ end{array} ight]= left[ egin{array}{cc} cos heta &sin heta \ -sin heta &cos heta \ end{array} ight] left[ egin{array}{c} hat{x} \ hat{y}\ end{array} ight]$

其中變換矩陣為： $A=left[ egin{array}{cc} cos heta &sin heta \ -sin heta &cos heta \ end{array} ight]$

可由 $frac{dA}{dt}=left[ egin{array}{cc} -sin heta &cos heta \ -cos heta &-sin heta \ end{array} ight]dot{ heta}$

則有： $left[ egin{array}{c} frac{dhat{r}}{dt} \ frac{dhat{ heta}}{dt}\ end{array} ight]=frac{dA}{dt}left[ egin{array}{c} hat{x} \ hat{y}\ end{array} ight]=left[ egin{array}{cc} -sin heta &cos heta \ -cos heta &-sin heta \ end{array} ight]left[ egin{array}{c} hat{x} \ hat{y}\ end{array} ight]dot{ heta}=left[ egin{array}{c} hat{ heta} \ -hat{r}\ end{array} ight]dot{ heta}$

從而得到 $egin{cases} frac{dhat{r}}{dt}=dot{ heta}hat{ heta}\ frac{dhat{ heta}}{dt}=-dot{ heta}hat{r} end{cases}$

帶入上式有：

$m{a}=left( ddot{r}-rdot{ heta}^{2} ight)hat{e}_{r}+left( rddot{ heta}+2dot{r}dot{ heta} ight)hat{e}_{ heta}=left( ddot{r}-rdot{ heta}^{2} ight)hat{e}_{r}+left[ frac{1}{r}frac{d}{dt}left( r^{2}dot{ heta} ight) ight]hat{e}_{ heta}$