布朗運動、鞅表示與Wiener混沌 (上)

概率基礎：以測度為基礎的概率基本概念與結論

隨機積分基礎：本專欄《泛函觀點下的隨機積分》系列

好久沒更專欄。鞅表示算是我在隨機分析這一塊比較喜歡的理論，而最近在讀Malliavin分析 (隨機變分法

)的時候，發現鞅表示是一個很好的切入點，就來更兩篇文章幫自己總結一下。這一篇主要講基本上每一本隨機分析書上都會有的鞅表示內容，第二篇把鞅表示作為切入聯繫到一點Malliavin分析的初步理論。

每一個學隨機過程的人都會有這麼一個問題：布朗運動有什麼特別？這篇文章主要展現布朗運動和連續局部鞅的密切關聯。其中有兩個主要結果：

對於布朗運動，我們可以算出其二次變差過程為，但如果一個一般連續局部鞅的二次變差過程也是 , 那麼是布朗運動嗎？答案是肯定的，這個結果是布朗運動的Lévy刻畫。
前面我們展示了一套基於連續局部鞅/半鞅的隨機積分/SDE理論，但好像大部分時候都只考慮對布朗運動的隨機積分，為什麼不更多地考慮其他連續局部鞅呢？事實上，在一定的條件下，一個連續局部鞅可以寫成布朗運動的隨機積分，即 , 這個結果叫鞅表示。也就是說布朗運動的隨機積分有很大的一般性。

這兩個結果都運用了在隨機分析裏一類非常重要的鞅：指數鞅 (exponential martingale)。其地位堪比分析裏的指數函數。

1. 指數鞅

命題1. 若復值函數 $f(x,y) in C^2(mathbb{R}^2; mathbb{C})$ 滿足PDE $frac{partial f}{partial y} + frac{1}{2}frac{partial^2 f}{partial x^2} = 0$ 。對於所有初始值為0的局部鞅 , 為局部鞅。

證明. 對半鞅向量用It?公式即可。Q.E.D.

例 (指數鞅). 令 , 定義指數鞅 (exponential martingale) $mathcal{E}^h, mathscr{E}^h$ 為

$mathcal{E}_t^h = expleft(int_0^t h(s),dB_s - frac{1}{2}int_0^t h^2(s),ds ight),$ $mathscr{E}_t^h = expleft(iint_0^t h(s),dB_s + frac{1}{2}int_0^t h^2(s),ds ight)$ 。

根據命題1 $M_t = int_0^t h(s),dB_s, f(x,y)=e^{x-frac{y}{2}},$ 或 $f(x,y) = e^{ix + frac{y}{2}}$ ，可得 $mathcal{E}^h, mathscr{E}^h$ 為局部鞅。可見，它們滿足SDE: , , 就像指數函數滿足類似ODE一樣。

2. 布朗運動的Lévy刻畫

定理 (Lévys characterization). 令為 ${mathcal{F}_t}$ -連續局部鞅向量且。若對於有，則是 ${mathcal{F}_t}$ -布朗運動。

證明. 根據布朗運動的定義，只需證明增量的獨立性與高斯分佈。為此，只需證明對於所有 $xi in mathbb{R}^d$ , , 有 $mathbb{E}left[e^{ilangle xi, M_t - M_s angle} | mathcal{F}_s ight] = e^{-frac{1}{2}|xi|^2(t-s)}$ 。這表示的特徵函數與高斯分佈一樣，且獨立於 $mathcal{F}_s$ ，一舉兩得。令 $h = (h_1, h_2, ldots, h_d) in L^2([0, infty); mathbb{R}^d)$ , 定義指數鞅

$mathscr{E}_t^h(M) = expleft(isum_{j=1}^dint_0^t h_j(s),dM_s^j + frac{1}{2}sum_{j=1}^dint_0^t h_j^2(s),ds ight)$

可以看出 $mathscr{E}^h(M)$ 一致有界。根據命題1及定理假設，可得 $mathscr{E}^h(M)$ 為局部鞅，又因其一致有界，所以為鞅。對於 $xi in mathbb{R}^d, T>0$ , 令 $h = xi 1_{[0, T]} in L^2([0,infty); mathbb{R}^d)$ ，那麼對應的指數鞅為 $mathscr{E}_t^h(M) = e^{i langlexi, M_{t} angle + frac{1}{2}|xi|^2t}, 0 le t le T$ 。根據鞅性質，對於所有 , $A in mathcal{F}_s$ , 有

$[ egin{split} mathbb{E}left[e^{ilangle xi, M_t - M_s angle}1_A ight] & = mathbb{E}left[e^{-ilangle xi, M_s angle}1_Amathbb{E}left[e^{ilangle xi, M_t angle} | mathcal{F}_s ight] ight]\ & = mathbb{E}left[1_A e^{-frac{1}{2}|xi|^2(t-s)} ight] = mathbb{P}(A)e^{-frac{1}{2}|xi|^2(t-s)} end{split} ]$

這正是想要證的結果。Q.E.D.

2. 鞅表示

令 ${mathcal{F}_t^B}$ 為由布朗運動生成的域流(filtration)，稱為布朗域流。如下引理體現了指數鞅的完備性質，可與Fourier分析中復指數函數可構成橢圓上函數的完備正交基進行類比。

引理. $left{mathcal{E}^h_infty : hin L^2([0, infty)) ight}$ 在 $L^2(Omega, mathcal{F}_infty^B, mathbb{P})$ 完備 (total)。由於 $L^2(Omega, mathcal{F}_infty^B, mathbb{P})$ 是Hilbert空間，完備性可推出稠密性。

證明. 令 $X in L^2(Omega, mathcal{F}_infty^B, mathbb{P})$ 滿足對於所有 , $mathbb{E}[Xmathcal{E}^h_infty] = 0$ , 要證。由於 $mathcal{F}_infty^B$ 由布朗運動所生成，對於任意時間點，通過可以定義 $(mathbb{R}^n, mathcal{B}(mathbb{R}^n))$ 上的有限signed測度: 對於 $Gamma in mathcal{B}(mathbb{R}^n)$ , $mu(Gamma) = mathbb{E}left[X1_{{(B_{t_1}, B_{t_2}, ldots, B_{t_n})in Gamma}} ight]$ ，其Fourier變換為：對於 $xi in mathbb{R}^n$ , $hat{mu}(xi) = mathbb{E}left[Xe^{i(xi_1 B_{t_1}+ xi_2 B_{t_2} + cdots + xi_n B_{t_n})} ight]$ ，只要證明即可。定義函數 $varphi(z) = mathbb{E}left[Xe^{z_1B_{t_1} + z_2 B_{t_2} + ldots + z_n B_{t_n}} ight]$ , 可見其為實解析函數，可延展為復解析函數。若 $zin mathbb{R}^n,$ $h(t) = sum_{k=1}^n left (sum_{j=k}^n z_k ight)1_{(t_{k-1}, t_k]}(t)$ , 則 $varphi(z) = expleft(frac{1}{2}int_0^infty h^2(s),ds ight)mathbb{E}left[Xmathcal{E}^h_infty ight] = 0$ , 所以在 $mathbb{R}^n$ 上為0，那麼必定在 $mathbb{C}^n$ 也為0，由此可得。Q.E.D.

註解1. 從證明裡可見，事實上只用考慮為簡單函數的 $mathcal{E}_infty^h$ 就夠了，這裡考慮更大的空間是因為其為Hilbert空間，為了下篇文章更一般的Hilbert空間上的高斯過程。

註解2. 在證明最後一步推出可以看出，若把 $mathcal{E}_infty^h$ 定義為，依然可以推出同樣的結果。當然，這個定義下的 $mathcal{E}_infty^h$ 就不是一個鞅了。

註解3. 我在各種回答文章裏一直強調的「信息」在概率裏至關重要。同樣，這個引理以及之後鞅表示能成立的關鍵是：我們考慮的是布朗域流 $mathcal{F}^B_infty$ 下可測的隨機變數，而不是其他域流。

與泛函分析觀點下的隨機積分 (二)：It?積分與等距裏的定義一樣，令為滿足 $mathbb{E}left[int_0^infty Phi_s^2,ds ight] < infty$ 的循序可測隨機過程組成的Hilbert空間 (隨機積分運算元的定義域之一)。

定理 ( 表示). 令 $F in L^2(Omega, mathcal{F}_infty^B,mathbb{P})$ , 則存唯一一個隨機過程使得

$F = mathbb{E}[F] + int_0^infty Phi_s,dB_s$ 。

證明. (唯一性) 若都滿足條件，等式兩邊相減可得 , 用It?等距可得 $mathbb{E}left[int_0^infty (Phi_s - Phi_s)^2,ds ight] = 0$ , 所以在下相等。

(存在性) 這裡我們用一個泛函分析裏的通用技巧：先證明有上述表示的構成 $L^2(Omega, mathcal{F}_infty^B,mathbb{P})$ 的一個閉子空間，再證明其包含完備集 $left{mathcal{E}^h_infty : hin L^2([0, infty)) ight}$ 。

令 $F_n in L^2(Omega, mathcal{F}_infty^B,mathbb{P})$ 為有上述表示的一列隨機變數，即 $F_n = mathbb{E}[F_n]+int_0^infty Phi^{(n)}_s,dB_s$ ，且在收斂於。那麼, $mathbb{E}[F_n]$ 收斂於。根據It?等距，有

$left|int_0^infty Phi^{(n)}_s ,dB_s - int_0^infty Phi^{(m)}_s,dB_s ight|_{L^2}^2 = mathbb{E}left[int_0^infty (Phi_s^{(n)} - Phi_s^{(m)})^2,ds ight]$ ,

可得 $Phi^{(n)}$ 為上的Cauchy列，根據完備性, $Phi^{(n)} ightarrow Phi in L^2(B)$ 。再根據It?等距 (積分運算元的連續性)，可得收斂 $int_0^infty Phi^{(n)}_s ,dB_s ightarrow int_0^infty Phi_s ,dB_s$ ，所以 $F = mathbb{E}[F] + int_0^infty Phi_s ,dB_s$ ，說明瞭滿足條件的構成 $L^2(Omega, mathcal{F}_infty^B,mathbb{P})$ 的閉子空間。

對於 $mathcal{E}^h_infty$ , 根據It?公式, $mathcal{E}^h_infty = 1 + int_0^infty h(s) mathcal{E}^h_s,dB_s$ 。由於並非隨機，可以得到 $mathcal{E}^h$ 為有界鞅 (用了BDG不等式和Gronwall不等式，感覺有更簡單的證法，更新：還真有，因為是高斯變數，下一篇裏證明瞭) ，所以 $h(cdot) mathcal{E}^h_cdot in L^2(B)$ 。上述閉子空間包含 $left{mathcal{E}^h_infty : hin L^2([0, infty)) ight}$ 。Q.E.D.

與泛函分析觀點下的隨機積分 (三)：局部鞅與半鞅裏的定義一樣，令 $L_{loc}^2(B)$ 為滿足對於， a.s.的循序可測隨機過程 (隨機積分運算元的定義域之一)。

推論 (鞅表示). 令為連續 ${mathcal{F}_t^B}$ -局部鞅，則存在唯一一個 $mathcal{Phi} in L_{loc}^2(B)$ 使得
。

證明. 只需證明的情況。若為有界鞅，存在 $M_infty in L^2(Omega, mathcal{F}_infty^B, mathbb{P})$ ，根據上一個定理，存在，使得，得到 $M_t = mathbb{E}[M_infty | mathcal{F}^B_t] = int_0^t Phi_s,dB_s$ 。至於為局部鞅的情況，取一列停時，使得 $M^{ au_n}$ 為鞅，用上一個定理，得到一列 $Phi^{(n)}$ , 根據唯一性可以把它們「粘」在一起得到想要的，和泛函分析觀點下的隨機積分 (三)：局部鞅與半鞅裏提到的思路基本一樣。

註解1: 從泛函分析觀點下的隨機積分 (二)：It?積分與等距裏知道，隨機積分運算元定義在是線性等距運算元，但並不一定為同構。通過鞅表示可得隨機積分運算元定義在為同構。

註解2: 看起來鞅表示是的推論，但實際上它們是等價的，正如泛函分析觀點下的隨機積分 (一)：L2鞅與變差裏提到的隨機變數與有界鞅一一對應。

註解3: 和引理註解裏所說一樣，適應於布朗域流是關鍵。

結語

在文章的結束，我們可以提出兩個問題：

如果不適應於布朗域流的話，還有鞅表示嗎？答案是肯定的。其中一個充分條件是絕對連續於Lebesgue測度，而從這個條件我們可以猜到和布朗運動的Lévy刻畫有關。這個鞅表示在SDE弱解、鞅問題和Markov過程比較有用，這部分內容還在計劃當中。
鞅表示裏給出了的存在性，如何算出具體的？鞅表示的表達式看起來就像是對的某種「導數」，事實上這是Malliavin分析的部分理論，即Malliavin導數。