實分析: 測度與積分

又是提綱啦. 因為下學期要開始學實變了, 以前瞭解過一點, 現在整理一下學過的內容. 這次寫的就像書開頭的 introduction 一樣, 嘗試一下這樣做筆記~目前還不完整, 寒假再更.

實分析方面我主要的參考書是 Folland, 敘述的主線也是按 Folland 展開的. 同時 Amann 對 Lebesgue 測度的介紹更詳細一些, Lang 全程處理 Banach 空間版本, 周民強有一些偏數學分析的內容, 所以都有參考.

可測空間

測度是定義在可測集上的. 類似於拓撲中的開集, 抽象的可測集是由在某些集合操作下封閉的子集族給出的. 通常有集代數和集環兩種處理方式, 區別在於是否將全集算作可測. 它們都有一些細節上的問題. 我們選擇用集代數敘述.

我們通常關心的集代數即關於(有限/可數)並集/補集和補集封閉的子集族. 一個集合配上一個 σ-代數就稱為一個可測空間. 與拓撲完全類似地, 我們可以定義任意子集族生成的集代數等, 可測函數, 可測空間的子空間, 乘積空間, 等等, 並得到一些類似的簡單結論, 例如可測函數的複合也是可測的. 這部分與點集拓撲完全平行.

一個技術上的定義是集半代數, 它關於交封閉且滿足: 任意兩個集半代數中集合的相對補集可寫成原集半代數中一些集合的不交並. 集半代數生成的集代數由那些可寫成原集半代數中集合的不交並的集合組成.

可測空間的一個重要的例子是拓撲空間. 拓撲空間的開集族生成的 σ-代數稱為 Borel 代數. 注意拓撲可以取任意交/並, 但 σ-代數至多取可數交/並, 所以有些命題僅對第二可數空間成立, 例如: 乘積拓撲生成的 Borel 代數等於 Borel 代數的乘積.

測度

測度給每個可測集 σ-可加地賦予一個值, 這樣就構成了一個測度空間. 在最一般的情況下, 這裡的值可以是在 Banach 空間上, 但我們暫時只考慮在上取值的正測度. 這裡我們得到了測度的簡單性質如連續性, 對應積分的 Fatou 引理. 後面我們會看到, 事實上積分與測度之間有著深刻的關係.

值得一提的是 σ-有限的測度. 後面我們定義 Bochner 積分時會看到它的一個用處是避免出現, 這裡是非零向量. 許多定理也需要這個條件, 它的好處是把問題轉化為測度有限的情況.

零測集是測度論對小的嚴格表述, 零測集足夠多的測度叫做完備的. 任意測度可以做完備化, 這會帶來一些技術上的好處, 例如我們經常說某些不好的點是零測的, 這時就不必擔心不好的點構成的集合是否可測.

Radon 測度

定義在 Hausdorff 空間的 Borel 代數上的局部有限 (每個點有鄰域測度有限), 外正則 (任意集合的測度被外包開集逼近), 內正則 (任意集合的測度被內含緊集逼近) 的測度稱為 Radon 測度.

待更.

構造測度的工具

外側度是定義在整個上的次 σ-可加單調函數. 給定 $ho:mathcal{F}subseteq 2^X o[0,infty]$ (其中有可數子集覆蓋 ), 可通過 $extstylemu^*(A):=inf,{,sum_{i=1}^infty ho(A_i):Asubseteqigcup A_i,}$ 定義外測度.

具體的測度通常由外測度與 Carathéodory 條件給出: 對任意 , . Carathéodory 延拓定理斷言這樣定義的可測集給出了一個完備的測度空間.

我們還能從更原始的材料出發. 定義在集半代數上的(σ-)可加函數可唯一地延拓到其生成的集代數上的(σ-)可加函數. 定義在集代數上的 σ-可加函數稱為預測度. 如上文所述, 它誘導出一個外測度. Hahn–Kolmogorov 延拓定理斷言, 這個外測度在 Carathéodory 意義下將預測度延拓到原集代數生成的 σ-代數上的一個測度, 且當預測度 σ-有限時這樣的延拓是唯一的.

定理 (Hahn–Kolmogorov). 設是上的集代數, 是上的預測度, 是其誘導的外測度, 是生成的 σ-代數. 設 $mathcal{M}^*$ 是 -可測集的集合, $mu:=mu^*|_{mathcal{M}^*}$ .
(i) $mathcal{M}subseteqmathcal{M}^*$ 且 $mu^*|_mathcal{A}=mu_0$ . 即可延拓到 $mathcal{M}^*$ 或上的測度.(ii) 若為 $mathcal{M}^*$ 或上的測度, 則 , 若則等號成立.(iii) 若是 σ-有限的, 則唯一地延拓到 $mathcal{M}^*$ 或上的測度.(iv) $(mathcal{M}^*,mu)$ 是 $(mathcal{M},mu|_{mathcal{M}})$ 的完備化的飽和.

例子

設為右連續遞增函數. 上形如的區間構成集半代數, 定義 , 其誘導的唯一 Borel 測度稱為 Lebesgue–Stieltjes 測度, 其定義域是 Borel 代數的完備化. 類似可定義 $mathbb{R}^n$ 上的 Lebesgue 測度. 它們都是 Radon 測度.

記號. 記 $mathcal{B}^n$ 為 $mathbb{R}^n$ 上的 Borel 代數, $mathcal{L}^n$ 為 Lebesgue 可測集的 σ-代數.

在不記常數倍意義下, Lebesgue 測度是 $mathcal{B}^n$ 或 $mathcal{L}^n$ 上唯一局部有限且平移不變的測度.

待更.

下面被積函數定義域是測度空間, 值域是 Banach 空間或 , 配上 Borel 代數. 約定 . 這裡應理解成向量, 而為測度, 意即: 若函數值為 , 定義域的測度再大, 它的積分也只能是 . 我們可能會假設測度是完備的, 這樣就可以在許多命題中加入 a.e.

Lebesgue 積分的想法很容易解釋清楚. 可測集上示性函數的有限線性組合稱為簡單函數, 它們的積分的定義是顯然的. 我們可以取 -Cauchy 的簡單函數列 (a.e.) 逐點逼近某些函數, 這些函數的積分就定義為簡單函數積分的極限. 換句話說, 簡單函數組成的線性空間上有積分作為線性泛函並給出範數, 我們將其完備化並將積分延拓到新的空間.

值的 Lebesgue 積分

先考慮的情況. 此時可積函數幾乎就是可測函數. 可測函數關於取可數 , , , 等等封閉. 若避開不定式, 則可測函數關於四則運算封閉, 這裡用到第二可數.

我們先定義非負可測函數的積分. 正是這一限制使得我們不會碰到的問題, 因為積分中只做加法. 任意非負可測函數都可被非負簡單函數從下方逐點逼近, 我們就取一列這樣的簡單函數並定義其積分為這列簡單函數積分的上確界. 或者我們也可以定義積分為比它小的所有簡單函數積分的上確界. 良定性由下面的單調收斂定理保證. 注意積分有限的函數取值的點為零測集, 取非零值的點為 σ-有限集.