選自《從一到無窮大》

　　G.伽莫夫著 張卜天譯

　　第二章 自然數與人工數

　　一、最純粹的數學

　　數學通常被人們尤其是數學家們譽爲科學的女皇。既然是女皇，自然要力圖避免與其他知識分支扯上關係。比如在一次“純粹數學與應用數學聯席會議”上，希爾伯特應邀作一次公開演講，以幫助消除這兩種數學家之間的敵意，他是這樣說的：

　　我們常常聽說，純粹數學與應用數學是彼此敵對的。事實並非如此。純粹數學和應用數學並非彼此敵對。它們過去不曾敵對，將來也不會敵對。它們不可能彼此敵對，因爲兩者其實毫無共同之處。

　　然而，儘管數學喜歡保持純粹，並盡力遠離其他科學，但其他科學尤其是物理學，卻極力同數學“親善”。事實上，純粹數學的幾乎每一個分支現在都被用來解釋物理世界的某個特徵。這包括抽象羣理論、非交換代數、非歐幾何等一直被認爲最爲純粹、絕不可能付諸應用的學科。

　　但迄今爲止，除了起智力訓練的作用以外，還有一個巨大的數學分支成功地保持住了自己的無用性，它真可以被冠以“純粹之王”的名號呢。這就是所謂的“數論”（這裏的數指整數），它是純粹數學思想最古老也最複雜的產物之一。

　　說來也怪，從某種角度來講，數論這種最純粹的數學竟然又可以稱爲一門經驗科學，甚至是一門實驗科學。事實上，它的絕大多數命題都是通過嘗試用數來做不同的事情而提出的，就像物理學定律是通過嘗試用物體來做不同的事情而提出的一樣。此外，數論的一些命題已經“在數學上”得到了證明，而另一些命題還停留在純粹經驗的階段，至今仍在考驗最出色數學家的能力，這一點也和物理學一樣。

　　讓我們以質數問題爲例來說明這一點。所謂質數，是指那些不能用兩個或兩個以上更小整數的乘積來表示的數，比如2，3，5，7，11，13，17等就是這樣的數。而比如12可以寫成2×2×3，所以就不是質數。

　　質數的數目是無限的呢，還是存在着一個最大的質數，凡是比這個數更大的數都可以表示成已有質數的乘積呢？這個問題最早是歐幾裏得（Euclid）解決的，他簡單而優雅地證明瞭並不存在什麼“最大的質數”，質數的數目超出了任何限度。

　　爲了考察這個問題，讓我們暫時假定只知道有限個質數，其中最大的用N表示。現在我們把所有已知的質數都乘起來，再加上1，把它寫成以下形式：

　　（1×2×3×5×7×11×13×……×N）+1。

　　這個數當然比那個據稱的“最大質數”N大得多。但它顯然不能被我們的任何一個質數（到N爲止，包括N在內）除盡，因爲從這個數的構造方式可以看出，拿這些質數中的任何一個來除它，都會留下餘數1。

　　因此，這個數要麼本身也是一個質數，要麼必定能被一個比N更大的質數整除。而這兩種情況都與我們最初假設的N是最大的質數相矛盾。

　　這種證明方式被稱爲歸謬法，是數學家最愛用的工具之一。

　　一旦知道質數的數目是無限的，我們自然會問，是否有什麼簡單的辦法可以把它們一個不漏地挨個寫出來。古希臘哲學家和數學家埃拉托色尼（Eratosthenes）最早提出了這樣一種方法，即所謂的“篩法”。你只需將完整的自然數列1，2，3，4…寫下來，然後相繼刪去所有2的倍數、3的倍數、5的倍數，等等。圖9顯示了將埃拉托色尼的“篩法”用於前100個數的情況，其中總共有26個質數。通過使用這種簡單的篩法，我們已經製作了10億以內的質數表。

　　圖9

　　倘若能設計出一個公式，可以迅速地自動找到所有質數而且僅僅是質數，那該多方便啊。可惜，經過數個世紀的努力，我們仍然沒有找到這樣的公式。1640年，著名的法國數學家費馬（Pierre Fermat）認爲自己已經設計出了一個只產生質數的公式：2+1，其中n取1，2，3，4等自然數的值。

　　運用這個公式，我們得到：

　　這幾個數的確都是質數。但在費馬宣佈這個公式之後大約一個世紀，德國數學家歐拉（LeonardEuler）證明，費馬的第五個數並非質數，而是6 700 417與641的乘積。於是，費馬這個演算質數的經驗規則被證明是錯誤的。

　　還有一個引人注目的公式也可以產生許多質數。這個公式是：

　　n2-n+41，

　　其中n也取1，2，3等自然數的值。人們已經發現，在n取1到40之間某個數的情況下，用上述公式都能產生質數。可惜到了第41步，這個公式也不管用了。

　　事實上，

　　41)2-41+41＝412＝41×41，

　　這是一個平方數，而不是質數。

　　人們還嘗試過另一個公式：

　　n2-79n+1601，

　　在n取從1到79之間的某個數時，這個公式都能產生質數，然而當n＝80時，它又失效了！

　　於是，尋找只產生質數的普遍公式的問題仍然沒有得到解決。

　　尚未得到證明也沒有被否證的數論定理的另一個有趣例子是1742年提出的所謂“哥德巴赫猜想”。它說：每一個偶數都能表示成兩個質數之和。從一些簡單的例子很容易看出它是對的，比如12=7+5，24=17+7，32=29+3。但數學家們雖然就此作了大量研究，卻依然不能確鑿地證明這個命題是對的，也找不出一個反例來否證它。直到1931年，蘇聯數學家施尼雷爾曼（Schnirelmann）才朝着所期望的證明成功地邁出了建設性的第一步。他證明，每一個偶數都是不多於300 000個質數之和。後來，“300000個質數之和”與“2個質數之和”之間的差距被另一位蘇聯數學家維諾格拉多夫（Vinogradoff）大大縮短了。他把史尼雷爾曼的結論減少到“4個質數之和”。但是從維諾格拉多夫的“4個質數”到哥德巴赫的“2個質數”，這最後的兩步似乎最難邁過去。我們不知道究竟需要幾年還是幾個世紀，才能最終證明或否證這個困難的命題。

　　由此可見，要想導出能夠自動給出小於任意大的數的所有質數的公式，我們還有很遠的路要走，我們甚至不確定究竟能否導出這樣的公式呢。

　　現在，我們也許可以問一個更爲謙卑的問題：在給定的數值區間內，質數所佔的百分比有多少。隨着數變得越來越大，這個百分比是否大致保持恆定？如果不是，它是增大還是減小？我們可以通過查找不同數值區間內的質數數目來經驗地回答這個問題。我們發現，100以內有26個質數，1 000以內有168個，1 000 000以內有78 498個，1 000 000 000以內有50 847 478個。把這些質數數目除以相應的數值區間，我們便得到了下面這張表：

　　從這張表上首先可以看出，隨着數值區間的擴大，質數的相對數目在逐漸減少，但並不存在質數的終點。

　　有沒有什麼簡單的辦法能對質數在大數當中所佔百分比的這種減小做出數學表示呢？有的，而且支配質數平均分佈的法則堪稱整個數學中最引人注目的發現之一。這條法則說：從1到任何更大的數N之間質數所佔的百分比近似由N的自然對數的倒數所表示。[1]N越大，這種近似就越精確。

　　從上表的第四欄可以查到N的自然對數的倒數。將它們與前一欄的值對比一下，就會看到兩者非常接近，而且N越大就越接近。

　　和其他許多數論命題一樣，上述質數定理起初也是憑經驗發現的，而且長時間得不到嚴格的數學證明。直到19世紀末，法國數學家阿達馬（Jacques Solomon Hadamard）和比利時數學家普桑（de la Vallée Poussin）才終於證明瞭它。其證明方法太過繁難，這裏就不去解釋了。

　　既然討論整數，就不能不提到著名的費馬大定理，儘管這個定理與質數的性質並無必然聯繫。這個問題可以追溯到古埃及，那裏的每一個好木匠都知道，一個三邊之比爲3:4:5的三角形必定包含一個直角。事實上，古埃及人正是把這樣一個三角形（現在被稱爲埃及三角形）用作木匠的曲尺。

　　公元3世紀時，亞歷山大里亞的丟番圖（Diophantes）開始思考這樣一個問題：是否只有3和4這兩個整數才滿足其平方和等於另一個整數的平方？他證明，還有其他三個一組的整數（事實上有無窮多組）具有這樣的性質，並且給出了找到這些整數的一般規則。這些三邊均爲整數的直角三角形被稱爲畢達哥拉斯三角形，埃及三角形是其中第一個。構造畢達哥拉斯三角形的問題可以簡單地表述成解代數方程

　　x2+ y2= z2，

　　其中x，y，z須爲整數。[2]

　　1621年，費馬在巴黎買了一本丟番圖所著《算術》的法文譯本，其中討論了畢達哥拉斯三角形。費馬讀這本書時，在書頁空白處作了一則簡短的筆記，說雖然方程

　　x2+ y2= z2

　　有無窮多組整數解，但對於任何

　　xn+ yn= zn

　　類型的方程，當n大於2時永遠沒有整數解。

　　“我發現了一個絕妙的證明，”費馬補充說，“但這裏的空白太窄了，寫不下。”

　　費馬去世後，人們在他的圖書室發現了丟番圖的那本書，那則旁註的內容也公諸於世。三百多年來，各國最優秀的數學家都在力圖重建費馬寫那則旁註時所想到的證明，但至今未能成功。[3]當然，在朝着終極目標邁進方面已經有了很大進展。一門全新的數學分支，即所謂的“理想數理論”，在嘗試證明費馬大定理的過程中被創建出來。歐拉證明，方程x3+ y3= z3和x4+ y4=z4不可能有整數解。狄利克雷（Dirichlet）證明，x5+ y5=z5也是如此。通過幾位數學家的共同努力，現已證明，當n的值小於269時，費馬方程都不可能有整數解。不過，對指數n取任何值都成立的一般證明一直沒能作出。人們越來越懷疑，費馬要麼根本沒有作出證明，要麼就是在證明過程中有什麼地方弄錯了。爲了尋求這個問題的解答，曾經懸賞10萬德國馬克，這個問題因此變得紅極一時。不過，那些爲獎金而來的業餘數學家的努力全都以失敗而告終。

　　當然，這個定理也有可能是錯誤的，只要能找到一個例子，證明兩個整數的某個相同高次冪之和等於另一個整數的同一次冪就可以了。不過在尋找這個例子時，我們只能使用比269更大的冪次，這可不是容易的事情啊。

　　[1]簡單地說，一個數的自然對數可以定義爲它的普通對數乘以2.3026。

　　[2]丟番圖的一般規則是：取任意兩個數a和b，使2ab是一個完全平方數。令x=a+，y=b+，z=a+b+。於是用代數方法很容易證明，x2+ y2= z2。用這個規則可以列出所有可能的解。最前面幾個解是：

　　32+42=52（埃及三角形），

　　52+122=132，

　　62+82=102，

　　72+242=252，

　　82+152=172，

　　92+122=152，

　　92+402=412，

　　102+242=262。

　　[3]費馬大定理於1995年被英國數學家安德魯·懷爾斯（Andrew Wiles）所證明。——譯者。