行星和衛星公轉的軌道為什麼是橢圓的而不是圓的？

因為正圓基本不可能出現啊……正圓要求離心率恰好是0，但是軌道的離心率可以是[0,1)中的任何一個實數（有理數？）——前提是被束縛住了，不考慮來了就走的雙曲線（這麼說來拋物線的概率也是0）——只要初始條件給出的離心率概率分佈不是某些奇葩的PDF，那你就基本不可能找到正圓軌道……特別是如果測量精度足夠，那一個小擾動就足以讓一個極其接近正圓的軌道變得不那麼接近正圓了……
當然，再嚴格點，公轉軌道也不是嚴格的橢圓，畢竟還有其它小天體（甚至不小的天體）的引力擾動……但是就算考慮一個嚴格的二體系統，不預設的情況下恰好撞上正圓軌道的概率就是0吧……

橢圓形軌道，還可以用萬有引力等於向心力來運算嗎？顯然不能，可是要怎樣運算呢？怎樣修正公式呢？期待著您的回答。
親愛的朋友們大家晚上好！非常感謝你們對這一問題寶貴的關注和回答！謝謝你們！這個問題在我的腦海里沉澱了幾天之後，我抽出專門的時間進行了深入的思考和研究。我想把我的一些想法和大家分享。

我是以地球圍繞太陽公轉的橢圓軌道為參考進行思考和分析的。在這裡我首先要亮明我的結論，行星和衛星的公轉軌道為什麼是橢圓而不是圓？「因為萬有引力大於向心力。」其次，我要作一個假設，假設太陽和地球誕生伊始，地球是圍繞著太陽作勻速圓周運動的。為什麼作這樣的假設，因為所有的分析都需要有一個初始條件，我的分析也不例外。所以勻速圓周運動就是我分析的起點。
勻速圓周運動有勻速圓周運動的特點，我認為勻速圓周運動它是一個穩定的系統。理想的勻速圓周運動，即使經過一萬年，它的軌道半徑和角速度也保持不變。假設太陽和地球誕生伊始，地球就在圍繞著太陽作勻速圓周運動。萬有引力等於向心力。

如果在前一刻，萬有引力等於向心力，在下一刻，我們要讓萬有引力大於向心力，怎麼辦？只能使軌道半徑r突然變短。軌道半徑r變短以後，萬有引力變大，向心力變小，萬有引力大於向心力。

萬有引力大於向心力之後，系統由穩定系統變成不穩定系統，不穩定系統會隨著時間演化，只有再次進入穩定狀態，它才會停止演化。我們下面來分析它是怎麼演化的。萬有引力變大以後，向心力也必須要變大，這樣纔能夠進入新的平衡。我們看到，只能是加速度變大。
那麼如果軌道半徑r不是突然變短呢？它是逐漸變短，甚至是先變短後變長，如此反覆，形成循環。現在地球的公轉軌道正是如此。夏至時，地球在遠日點，此時軌道半徑r最大；夏至過後，地球的軌道半徑逐漸變短。冬至時，地球在近日點，此時軌道半徑r最小。這是一個循環，軌道半徑r由大變小，由小變大。請看示意圖：

紅色橢圓軌道示意真實軌道，為了方便分析，同時為了把地球運動的速度分解成圓週上的切向速度和法向速度，我作了三個輔助圓，輔助圓是地球在那一位置上作勻速圓周運動所需要的軌跡，我用虛線表示。它們分別是近日點處的輔助圓，遠日點處的輔助圓和任意位置的輔助圓。

我們從地球位於遠日點開始分析。在遠日點處，地球的萬有引力勢能最大，動能最小。隨著軌道半徑變小，地球從遠日點向近日點運動，地球的萬有引力勢能轉化成動能。到達近日點處軌道半徑最短，地球的萬有引力勢能最小，動能最大。萬有引力勢能向動能的轉化完畢，接下來地球從近日點向遠日點運動，軌道半徑r由小變大，動能轉化為萬有引力勢能。到達遠日點處軌道半徑最長，地球的萬有引力勢能最大，動能最小。如此反覆，周而復始。總體上，地球的機械能保持守恆。
地球在冬至時位於近日點，軌道半徑大約為；地球在夏至時位於遠日點，軌道半徑大約為，這兩個數值可以方便的查到。那麼地球從近日點運行到遠日點，動能的減少量應該等於萬有引力勢能的增加量。

這裡G是萬有引力常數，M是太陽質量，取，m是地球質量，取
地球從遠日點向近日點運動時，萬有引力勢能轉化為動能，線速度v從最小值逐漸增加到最大值。切向速度與線速度的變化規律一致，也從最小值逐漸增大到最大值。法向速度變化規律不同，它是從零增加，然後再減小到零。地球從近日點向遠日點運動時，動能轉化為萬有引力勢能，線速度v從最大值逐漸減小為最小值。切向速度從最大值逐漸減小到最小值。法向速度從零增加，然後再減小到零。正是因為在近日點和遠日點處，地球的法向速度減小到零，軌道半徑才沒有繼續增大或減小。發現速度減小到零，也才使這一刻成為動能和萬有引力勢能之間此消彼長的分界點。
地球在從遠日點向近日點移動的過程當中，軌道半徑是緩慢減小的，為了使系統從不平衡走向平衡，角速度也在緩慢增大。角速度的增大永遠都追不上軌道半徑r的減小，因為它們的發生是有一個時間先後的，我們可以把角速度的增加看作軌道半徑r減小的負反饋。因為軌道半徑r的減小沒有停止，的增加作為負反饋，它總時滯後於軌道半徑r的減小。在地球從近日點向遠日點移動的過程中也是這樣，軌道半徑由緩慢變小轉為緩慢增大，為了使系統穩定，演化就要求角速度逐漸減小，但是角速度的逐漸減小作為負反饋，它總是滯後於軌道半徑r的增加。所以這種不平衡、不穩定的系統在向平衡和穩定演化的過程中，形成了自己的循環。這是不平衡中的平衡，不穩定中的穩定。
而這種特殊狀態的條件就是，伴隨著萬有引力勢能和動能的相互轉化，軌道半徑要先變短後變長，所對應的就是萬有引力先是大於向心力，後是小於向心力。所以糾正前面的結論，行星和衛星公轉軌道是橢圓而不是圓的原因是，「萬有引力不等於向心力」和「機械能守恆」。

如圖所示，我們以地球球心為坐標原點，建立三維直角坐標系。那麼太陽系內其它七大行星對地球的萬有引力影響，包括隕石甚至是小行星撞擊對地球的萬有引力影響，都可以分解為三個方向上對地球做功。在法線方向上對地球做的功，轉化為地球的法向動能，隨即轉化為地球的萬有引力勢能。當然，也可以做負功，作負功的時候是同樣的道理，比如三星連珠，月亮位於地球和太陽的正中間，這個時候呢，就降低了地球的萬有引力勢能，但是能量守恆，必將增大地球的動能。在切線方向上對地球做的功，必將轉化為地球切向的動能，使地球的公轉角速度加快，引發軌道半徑的減小。同樣的道理，在切線方向上也可以對地球作負功，此時將降低地球切向的動能，角速度被幹預，比預期的數值要小，引發軌道半徑比預期增大。在垂直於黃道面的方向上對地球做功，這個功也將首先轉化為地球在z方向上的動能，引發地球黃道面與赤道面夾角的微小波動。
外來影響可能來自任意方向，它們有的可能會相互抵消，有的可能不會抵消。不會抵消的這一部分就會在地球積累，從而影響地球公轉軌道的微弱變動。還好這個系統具有微調能力，它會通過對軌道半徑、公轉角速度的自調，來吸收和釋放這些幹擾。那麼新的問題來了，「行星圍繞恆星做橢圓運動的條件是什麼？」似乎又回到了起點，我在前面對這個問題的回答是「萬有引力不等於向心力並且機械能守恆」，但是似乎這還不夠。我大膽猜想：

，這個值應該是具有約束條件的。我們知道，在太陽系中不同的行星圍繞太陽公轉的橢圓軌道曲率不一樣，有的比較圓，有的比較扁。最圓無外乎正圓，正圓時做的是勻速圓周運動。最扁呢？我們或許要看天王星和海王星，甚至是哈雷彗星，它們的橢圓軌道更扁。那麼具有怎樣的約束條件呢？對正圓軌道來說
對橢圓軌道來說，，軌道越扁越大，那麼很自然我們會想到，。如果，則，顯然這是不現實的，所以，。的最大值只能等於。假設，因為，所以。這意味著什麼？這意味著兩個星球將可能相撞。如果將改成，則毫無疑問，兩個星球將必然相撞。如果行星圍繞恆星旋轉的橢圓軌道繼續扁下去，最扁，橢圓的短軸將等於恆星的直徑，這顯然是不現實的。如果它可以實現，那麼這就是邊界條件。因為如果橢圓的短軸小於恆星的直徑，行星將和恆星相撞。行星不會落到恆星上，成為對和上限的限制，。而勻速圓周運動又成為對和下限的限制，。

那麼太陽系內其它七大行星對地球的擾動，包括隕石甚至是小行星撞擊對地球的擾動，它們最終改變的是什麼？它們最終改變就是地球的動能和萬有引力勢能。這樣的擾動會使地球在時間片段上的和發生額外的微小變化，這樣的變化積累起來，會在一定程度上改變和，但是沒有關係，系統本身會自發調節。通過微調角速度來微調動能，通過微調軌道半徑r來微調萬有引力勢能。所有這些擾動只是微調了地球繞太陽公轉的角速度和軌道半徑r，系統會重新達到微妙的平衡，運行在略有差別的橢圓軌道上，這是不穩定中的穩定。

@UsernameRedacted 大佬講得非常清楚。

一個焦點位於原點的圓錐曲線的一般方程是

其中，是圓錐曲線的離心率。我們把這個式子與平方反比力情況下，即：

情況下通過角動量守恆方程求出的軌道方程（是角動量，由於只考慮兩體有心力這種封閉體系，總角動量守恆，總能量守恆，即：可以當做常數看待）

比較一下，便可以得到這種情況下的離心率

此時，而軌道的性質與離心率值有關係：

時，軌道是圓。

時，軌道是橢圓。

時，軌道是拋物線。

時，軌道是雙曲線。

你也可以將這種分類用等效一維勢的能量曲線的定性討論來表示。
現在來說結論：行星和衛星公轉的軌道為什麼是橢圓的而不是圓的？首先我們抽象出兩體有心運動的模型要求軌道是圓錐曲線，而是什麼樣的圓錐曲線，是通過離心率進行分類的，這種模型中離心率是由確定的。如果考慮更為貼近實際一些的模型，我們實際得到的軌道更為複雜。

如果按地球自轉時間計算，金、木、水、火四行星都在繞地球旋轉且有快慢及「進動」現象，根本不存在正圓及橢圓軌跡；另根據四季差距時間，太陽圍繞地球旋轉時春分至秋分（直射赤道）186天，而秋分至明年春分為179或180天（閏年），如果在赤道測量日地距離證實存在橢圓軌跡，那麼相差6、7天的時間也應不太明顯；再者橢圓軌跡與引力相互矛盾（怎樣保持離心力與向心力的平衡？）。

正圓軌道不穩定，稍微有點擾動就變成橢圓了

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