Kelly 公式

Kelly Criterion

典型案例

無論是在數學課上還是日常生活中，相比大家對拋硬幣這個遊戲並不陌生。通常來說，硬幣有正反兩面，並且拋一次硬幣出現正面和反面的概率是一樣的，也就是二分之一。如果用數學符號來表示的話，那就是這裡的分別表示硬幣出現正面和反面的概率值。從直覺上說，在這種情況下，如果我們每次投入的資金都是一樣的並且資金鏈條不會斷裂，那麼隨著投幣次數的增多，最終我們應該是既不會贏錢也不會輸錢，總資產和一開始的時候一樣保持不變。

數學描述

用數學語言來描述這個過程的話，假設我們的初始資產是 $X_{0}$ ， $X_{n}$ 表示次下注之後我們當前的資產，每次下注的錢是 $B_{k}$ ，用 $T_{k} =1$ 表示第次下注獲勝， $T_{k} = -1$ 表示第次下註失敗。那麼從數學公式上來說就是：對於所有的都有

$X_{k} = X_{k-1} + T_{k}B_{k},$

進一步可以得到：

$X_{n} = X_{0} + sum_{k=1}^{n} T_{k}B_{k},$

所以，

$E(X_{n}) = X_{0} + sum_{k=1}^{n}E(T_{k}B_{k}) = X_{0} + sum_{k=1}^{n}(p-q)E(B_{k}).$

對於上面特殊的例子，當時，就可以得到 $E(X_{n}) = X_{0}.$

當的時候，表示賭贏的概率大於賭輸的概率。這種時候，如果需要讓 $E(X_{n})$ 最大，那麼就需要最大化每次的 $E(B_{k})$ 。所以，在這種情況下，我們需要在每次下注的時候，把手上所有的資產全部下注，然後總資產隨著次數的增加就會出現幾何級數的增長。

相反的，如果，表示下注獲勝的概率小於下註失敗的概率。這種時候，如果需要讓 $E(X_{n})$ 最大，那麼就需要最小化每次的 $E(B_{k}),$ 因為所以，在這種情況下，我們在每次下注的時候，其實就不需要投注，每次的 $B_{k}=0$ ，在這種情況下，我們的總資產其實就會保持原樣不變。i.e. $E(X_{n}) = X_{0}.$

按比例投注

在每次下注或者投資的時候，我們通常都會想著按照一定的比例來投注自己當前的資產。也就是說，存在一個參數使得 $B_{i} = f X_{i-1},$ 也就是說，每次投注的時候，基於上一輪的總資產來投注相應的比例即可。如果當前的資產是如果下注贏了，那麼總資產就變成；如果下注輸了，那麼總資產就變成。意思就是說，如果贏了，那就在原來資產的基礎上乘以；如果輸了，那就在原來資產的基礎上乘以。在這種情況下，如果我們進行了次下注，那麼此刻的資產就變成了

$X_{n} = X_{0} cdot(1+f)^{S}cdot(1-f)^{F}$

其中，分別表示成功和失敗的次數，並且。

當時，表示永遠不下注，此時對於所有的，都有 $X_{n}=X_{0}$ ；當時，表示每次下注的時候都是全部下注，那麼只要，就會出現 $X_{n}=0$ 的情況。意思就是說，如果有一次失敗了，那就全盤皆輸，沒有任何資產可以繼續運營。但是如果運氣足夠好的話，那就是，總資產就是 $X_{n} = X_{0}cdot 2^{n}.$

當時，從公式中可以得到：

$ln X_{n} = ln X_{0} + Scdot ln(1+f) + Fcdot ln(1-f)$

$Rightarrow G_{n}(f)=ln(X_{n}/X_{0})^{1/n}$

$=(ln X_{n}-ln X_{0})/n = (S/n) ln(1+f) + (F/n)ln(1-f).$

進一步可以得到：

$g(f) = E(ln(X_{n}/X_{0})^{1/n})$

因此，可以通過研究來確定 $E(X_{n})$ 的最大值。為了計算的最大值和最小值，則需要通過導數來研究。可以簡單的看出來：當時，， $lim_{f ightarrow 1^{-}} g(f) = -infty$ 。計算導數可以得到：

$Dg(f) = frac{p}{1+f} - frac{q}{1-f} = frac{p-q-f}{1-f^{2}},$

$D^{2}g(f) = frac{-(1-f)^{2}-4fq}{(1-f^{2})^{2}}<0.$

所以，導數是一個嚴格遞減函數，當；當時，。因此，函數會在 $f^{*} = p-q$ 的時候達到最大值。所以，每次最佳的投注比例應該是 $f^{*} =p-q$ 。

從這個結果上來看，如果，那麼意思就是最好不要做投注，因為輸的概率比較大。如果，那麼意思就是投注的比例是 $f^{*}=p-q$ 。在這種情況下，可以得到 $g(f^{*}) = pln p + qln q + ln 2.$ 從以上信息分析，也可以得到存在一個點 $f_{c}$ 使得 $g(f_{c}) = 0.$

一般形式（一）

在一般情況下，在現實生活中都會有賠率的概念。也就是說：贏錢的時候需要考慮賠率，押賠，也就是所謂的贏錢率，資產從增加到。舉個簡單的例子來描述那就是：當硬幣有偏差，同時有賠率（贏錢率）的時候該怎麼辦？

在這種情況下，之前的可以寫成如下的形式：

這裡的分別表示贏錢和輸錢的概率，並且。表示每次應該押上的當前總資產的比例，並且。通過計算可以直接得到：

$Dg(f) = frac{pb-q-bf}{(1+bf)(1-f)}.$

並且， $lim_{f ightarrow 1^{-}}g(f) = -infty$ 。從導數上可以看出，當時，是增函數；當時，是遞減函數。因此，當時，達到最大值，也就是

在這種情況下，直接帶入一些簡單的數字可以得到：

當時， $f^{*} = (pb-q)/b = 0;$
當時， $f^{*} = (pb-q)/b = 1/3;$
當時， $f^{*} = (pb-q)/b = 1/4;$
當時， $f^{*} = (pb-q)/b = - 1/2;$ 此時不該下注。

從公式 $f^{*} = p - frac{q}{b}$ 可以看出：

當增加的時候，會減少， $f^{*}$ 也會增加，意思就是隨著贏錢的機會加大，就該增加投注的比例；反之，當減少的時候， $f^{*}$ 也會隨之減少，也就是說當贏錢的機會變小的時候，就該減少投注的比例。
當增加的時候， $f^{*}$ 會增加，意思就是說當贏錢率增加的時候，應該加大投注的比例；反之，當贏錢率減少的時候，應該減少投注的比例。
當 $f^{*}leq 0$ 時，就表示這個遊戲不值得投注，因為總資產的期望是負數。

一般形式（二）

除了贏錢率之外，在一般情況下，還有一個損失率的概念。也就是說，當投擲的硬幣有偏差，並且同時有贏錢率和損失率的時候該怎麼辦？

假設

賭贏的概率是；
賭輸的概率是；
贏錢率是，下注的資產會按比例增加，從變成
損失率是，下注的資產會按比例減少，從變成

一般情況下，。在這種情況下，函數的形式又會發生微小的變化，

直接計算可以得到： $Dg(f) = frac{pb-cq-cbf}{(1+bf)(1-cf)}$ 。因此，臨界點是 $f^{*} = frac{p}{c} - frac{q}{b}.$ 從公式上看，

當增加的時候，會減少， $f^{*}$ 也會增加，意思就是隨著贏錢的機會加大，就該增加投注的比例；反之，當減少的時候， $f^{*}$ 也會隨之減少，也就是說當贏錢的機會變小的時候，就該減少投注的比例。
當增加的時候， $f^{*}$ 會增加，意思就是說當贏錢率增加的時候，應該加大投注的比例；反之，當贏錢率減少的時候，應該減少投注的比例。
當增加時， $f^{*}$ 會減少，意思是說當損失率增加的時候，應該減少投注的比例；反之，當輸錢率減少的時候，應該增加投注的比例。
當 $f^{*}leq 0$ 時，就表示這個遊戲不值得投注，因為總資產的期望是負數。