虛數i真的很「虛」嗎？

虛數的概念也曾困擾著我，就像自然常數一樣，詳情請見: 《自然底數e怎麼就「自然」了？》。這些概念看起來太過平常，不求甚解的人可能會覺得這都是數學家的事，或者會對著自己一臉好奇的孩子說「等你長大了就懂了」，許多孩子童年的求知慾受挫可能都是來自於家長的這一句話看似安慰的話。所以，如果不主動去了解，不僅自己會錯過很多醍醐灌頂的機會，還會影響下一代。

在說虛數(Imaginary Numbers)之前，應該先提大家更加熟悉的一個概念，那就是負數(Negative numbers)。負數的概念在小學數學裡就有介紹，也就是說，小學生也應該能夠自信地進行負數的各種運算，但是在公元世紀以前，即使是當時歐洲著名的數學家，想讓他理解「負數」這個概念也並不容易。

「負數」在當時被認為是荒謬的，就像公元500年之前，畢達哥拉斯學派的弟子希伯索斯(Hippasus)發現無理數（也稱為無限不循環小數，如自然常數，見：《自然底數e怎麼就「自然」了？》和圓周率，見：《古人是如何尋找到π的？》，它們都無法寫成兩個整數之比）一樣。

Hippasus (圖片來源：Wikipedia)

公元前世紀，畢達哥拉斯學派認為「萬物皆數」，世界上只有整數和分數(有理數)。而希帕索斯卻發現了令人震驚的「無限不循環小數」，即無理數，令該學派感到恐慌，並引發了第一次數學危機。有傳言說最終希帕索斯被自己的老師畢達哥拉斯(Pythagoras)判決淹死。也有說法是被學派門人丟進海里淹死。

當人們在直觀感受遭遇挑戰的時候，人們往往先選擇拒絕。

例如，當時的人們可以很直觀地理解，如果你家有條狗，後來送給別人家條，你還剩下1條，。但如果說你家有條狗，然後送給別人家條狗，那這是什麼狗？！

所以，人們無法直觀上理解的計算方法在當時是不能被接受的。以致於，1759年英國數學家Francis Maseres，也會說：「Negative numbers darken the very whole doctrines of the equations.（負數使關於方程的所有學說變得毫無意義，即認為負數沒有意義）」。

Francis Maseres (圖片來源：Wikipedia)

即使是歐拉(Leonhard Euler)，也為「負數」的概念糾結了好一陣。不過現如今，認為負數「無用」或「不合邏輯」纔是真的荒謬。

那為什麼人們對負數的理解發生了的大轉變呢？因為我們發明瞭一種具有有用屬性的理論上的數字，負數並不能很好地用來描述我們看得見、摸得著的可直觀感受的事物，但卻能很好地描述某種關係。

例如「債務」。人們會在日常支出中記錄各種交易信息，如果欠別人元，你會記錄，在賺了元以後，可以直接用來計算屬於自己的錢，而不需要更多的文字描述，負數已經將這種關係植入其中，既然有這種屬性，又有什麼理由說它是無用的呢？可見「關係」的重要性~

虛數也有相似的命運，從其名字就可以看出似乎受到過很不公正的待遇。一元二次方程有兩個解，和。那對於方程呢？在解之前，我們不妨先假設的解存在，就像負數一樣，奇怪的概念往往其實有其自身的價值。

對於方程，其實可以寫成。我們將「乘以」看成是一種「變換」，通過兩次這種變換，我們最終將變為。但我們不能通過和兩個正數的相乘抑或是和兩個負數的相乘來實現到的轉變，以前也說過，「變換」並不改變問題本身，而只是改變了看待問題的角度，感興趣的可見：《如何給文科生解釋傅裏葉變換？》。

但是如果這種「變換」是「旋轉」呢？聽起來很新穎，但是我們把定義為「逆時針旋轉角」的話，在包含兩個正交軸的坐標繫上，就能夠實現到的轉變。

而這個坐標系構成的平面也稱為「複平面（橫軸為實數軸(Real Dimension)，縱軸為虛數軸(Imaginary Dimension)）」，並用字母i 作為該情況下的解，用來特指「逆時針旋轉90°角」的變換。

(圖片來源: betterexplained)

那如果想順時針旋轉呢？

答案是：乘以 就行了。

(圖片來源: betterexplained)

而且如果乘以兩次，和乘以兩次一樣，得到的也是。

如果分別乘以次、次、次、次、次、次，可以得到：

可以得到以下結論：

（毫無疑問）
（感覺是句廢話）
（上面已經說明瞭原因）
（三次逆時針旋轉，相當於順時針旋轉）
（四次逆時針旋轉，回到初始位置，循環結束）
（開始下一循環，逆時針旋轉）

(圖片來源: betterexplained)

同時，上圖也不知不覺地將數從一維的實數域拓展到了二維的複數域，即實數與虛數的組合。或者說：複數=實部+ 虛部。例如，一個複數的實部為，虛部也為，則可以得到複數。

複數Z 可以看作是複平面上的點，如下圖。即沿著實軸方向前進，沿著虛軸方向再前進，其在實軸與虛軸上的投影值即為實部與虛部的值，其長度或「模(Modulus)」為該點到原點的距離為，該點與原點連線後與實軸正方向的夾角為，該角度稱為幅角(Argument)。既然又有長度又有方向，因此複數也就可以看做是複平面上的一個矢量。