電子云的形狀原來是這麼來的？!
電子云結構是這個世界上最精妙絕倫的結構之一。
總註：只想看科普的讀者朋友可以忽視以下所有標註」（可忽視）」的引用塊中的內容。
與電子云相關的一個重要的數學知識是---球諧函數。
首先，我們必須要知道，球諧函數從何而來？球諧函數是球坐標系下的 方程的解。
方程是一個非常重要的偏微分方程，其表達式為：
其中： 為
算符，是一個標量算符。
是一個標量函數。
在不同的坐標系下具有不同的形式，這裡我們研究的是其在球坐標系下作用於一個標量函數的解。
（可忽視）
這裡我只給出在直角坐標系和球坐標系下的形式：直角坐標系下的
算符：
直角坐標系下的
方程：
球坐標系下的
算符：
球坐標系下的
方程：
![igtriangleup f ={frac {1}{r ^{2}}}{frac {partial }{partial r }}left(r ^{2}{frac {partial f }{partial r }}
ight)+{frac {1}{r ^{2}sin heta }}{frac {partial }{partial heta }}left(sin heta {frac {partial f}{partial heta }}
ight)+{frac {1}{r ^{2}sin ^{2} heta }}{frac {partial ^{2}f}{partial phi ^{2}}}=0left( igstar
ight)]()
就是我們要研究的方程。
我們假設標量函數 是一個三元函數，即：
。在坐標系發生轉換時
中變數的個數並不會改變。這就意味著，
從直角坐標系下的表達形式轉換到球坐標系下的表達形式之後變數的個數還是三個，即
，形式變換之後的三個變數分別是：
球坐標系徑向變數（球的半徑），
球坐標系下的角變數，其中：
表示經度，
表示維度。
（可忽視）
直角坐標系和球坐標系之間的轉換關係式為：
![{displaystyle {r}={sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}]()
![{displaystyle { heta }=arccos left({frac {z}{r}}
ight)=arcsin left({frac {sqrt {x^{2}+y^{2}}}{r}}
ight)=arctan left({frac {sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}}
ight)}]()
![{displaystyle {phi }=arccos left({frac {x}{rsin heta }}
ight)=arcsin left({frac {y}{rsin heta }}
ight)=arctan left({frac {y}{x}}
ight)}]()
現在我們假設 在球坐標系下的在三個變數
上的分量相互獨立，這便可以將
寫成三個一元函數乘積的形式：
其中： 是
的徑向分量，
是
的經度方向分量，
是
的緯度方向分量。這個過程有點像因式分解對不對？我們也可以將後面的經度和維度分量合寫寫在一起，稱為角分量（即僅與角有關的分量），並定義為：
後面我們就會看到，這個二元函數 就是所謂的球諧函數。定義了
之後
可以寫為：
下面我們進入正題：通過球坐標下的 方程求解球諧函數
。（先進行數學推導，最後我們來分析一下得到的解）
（可忽視）
我們利用分離變數法求解球坐標下的方程。首先，我們先做一些準備工作：
![f=Rcdot YRightarrow left{egin{matrix} f_{r}=R_{r}cdot Y\ f_{phi }=Rcdot Y_{phi }\ f_{ heta }=Rcdot Y_{ heta } end{matrix}
ight.Rightarrow left{egin{matrix} f_{rr}=R_{rr}cdot Y\ f_{phiphi }=Rcdot Y_{phiphi }\ f_{ heta heta }=Rcdot Y_{ heta heta} end{matrix}
ight.]()
![Rightarrowleft (r^{2}cdot f_{r}
ight )_{r} =2rcdot f_{r}+r^{2}cdot f_{rr}=2rcdot R_{r}cdot Y+r^2cdot R_{rr}cdot Y]()
將上面的結果全部代進球坐標下的
方程可得：
![igtriangleup f ={frac {1}{r ^{2}}}left(2rcdot R_{r}cdot Y+r^2cdot R_{rr}cdot Y
ight)+{frac {1}{r ^{2}sin heta }}left(mathrm{cos} heta cdot Rcdot Y_{ heta }+mathrm{sin} heta cdot Rcdot Y_{ heta heta }
ight)+{frac {1}{r ^{2}sin ^{2} heta }}cdot Rcdot Y_{phiphi }=0]()
![Rightarrowleft(2rcdot R_{r}+r^2cdot R_{rr}
ight)cdot Y=-left({frac {mathrm{cos} heta}{sin heta }} cdot Y_{ heta }+Y_{ heta heta }+{frac {1}{sin ^{2} heta }}cdot Y_{phiphi }
ight)cdot R]()
從而得到一個二階常微分方程和一個偏微分方程，分別為：
![2rcdot R_{r}+r^2cdot R_{rr}-lambdacdot R=0Leftrightarrow2rcdot frac{mathrm{d} R}{mathrm{d} r}+r^{2}cdot frac{mathrm{d^{2}} R}{mathrm{d} r^{2}}-lambda cdot R=0]()
我們再將
代入
有：
![{frac {mathrm{cos} heta}{sin heta }} cdotPhi cdotTheta_{ heta }+Phi cdotTheta_{ heta heta }+{frac {1}{sin ^{2} heta }}cdot Phi _{phiphi }cdotTheta+lambdacdot Phi cdotTheta=0]()
![Rightarrowmathrm{cos} hetacdot sin hetacdotPhi cdotTheta_{ heta }+Phi cdotTheta_{ heta heta }cdotsin ^{2} heta+Phi _{phiphi }cdotTheta+sin ^{2} hetacdot lambdacdot Phi cdotTheta=0]()
![Rightarrowleft(mathrm{cos} hetacdot sin hetacdotTheta_{ heta } +Theta_{ heta heta }cdotsin ^{2} heta +sin ^{2} hetacdot lambdacdot Theta
ight)cdotPhi =-Phi _{phiphi }cdotTheta]()
從而再次得到兩個二階常微分方程：
![mathrm{cos} hetacdot sin hetacdotTheta_{ heta } +Theta_{ heta heta }cdotsin ^{2} heta +sin ^{2} hetacdot lambdacdot Theta-m^2cdotTheta=0Leftrightarrowmathrm{cos} hetacdot sin hetacdotfrac{mathrm{d}Theta }{mathrm{d} heta }+frac{mathrm{d^{2}}Theta }{mathrm{d} heta^{2} }cdotsin ^{2} heta +sin ^{2} hetacdot lambdacdot Theta-m^2cdotTheta=0]()
![Phi _{phiphi }+m^2cdotPhi=0Leftrightarrowfrac{mathrm{d^{2}}Phi }{mathrm{d} phi^{2} }+m^2cdotPhi=0]()
現在，我們通過分離變數法得到了三個常微分方程：
這三個常微分方程求解的困難程度由低到高分別是：
。其中有關
的方程進行
的變數代換之後
，可得到有關
的伴隨
方程，其中
,該方程需滿足在該區間上取有限值，此時必須有：
，其中
。這裡就不進行求解了,因為求解過程實在是異常複雜。其實是我不會......（捂臉逃）
最終所求得的球諧函數的表達式為：
其中， 稱為伴隨
多項式，其表達式為：
伴隨 多項式是伴隨
方程的解。
稱為歸一化常數：
如果把上面的式子都寫到一起，就是一個看起來非常可（e）愛（xin）的式子，這個式子就是所謂的球諧函數了，我們來一睹它的尊容：
得到球諧函數的表達式之後，我們還應該明確一個問題，就是單粒子球對稱位勢問題下的薛定諤方程的本徵解 可以描述電子云的形狀，該本徵解恰好可以被拆成徑向分量和角分量的乘積的形式，而其角分量正是球諧函數：
下面，我們直接給出單粒子球對稱位勢問題下的薛定諤方程本徵解的徑向分量表達式：
其中： 稱為伴隨
多項式，其表達式為：
是
半徑，其值是：
。
所以，電子云可以使用以下函數進行描述：
其中：
徑向本徵解（徑向波函數）：
角向本徵解（球諧函數）：
下標 是指三個量子數，分別是主量子數，角量子數和磁量子數，它們的意義分別是：
- 主量子數
：電子層數，取值為
- 角量子數
：軌道量子數（亞電子層數），取值為
例如： ，則
,分別
亞電子層（後面我們會看到相應的分量）
- 磁量子數
：軌道角動量沿某指定軸的投影，取值為
磁量子數的個數描述了 亞電子層有多少個分量。
在上面的「部分球諧函數表示」圖片中可以很清楚的看到
的取值對球諧函數分量個數的影響。
下圖是徑向波函數在 取不同值時候的曲線：
以及矚目的電子云圖形：
我們知道，電子云是徑向函數和球諧函數共同作用的結果。究竟是如何作用的呢？我們以 為例來進行解釋：
其中：
![psi_{300}=0Leftrightarrowfrac{1}{sqrt{pi}}cdot left ( frac{Z}{3a_{0}}
ight )^{frac{3}{2}}cdot left ( 1-frac{2Zr}{3a_{0}}+frac{2Z^{2}r^{2}}{27a_{0}^{2}}
ight )cdot expleft (-frac{Zr}{3a_{0}}
ight )=0Leftrightarrow left ( 1-frac{2Zr}{3a_{0}}+frac{2Z^{2}r^{2}}{27a_{0}^{2}}
ight )=0]()
顯然，
並不是零點。
![psi_{300}left( 0
ight)=frac{1}{sqrt{pi}}cdot left ( frac{Z}{3a_{0}}
ight )^{frac{3}{2}}]()
為原子序數。
從上面的 第二圖可以看出， 有兩個零點，三個極大值，以及在
時，
。若我們將極大值處想像成為「最亮的區域」，而零點和趨於零的部分想像成為「最暗的區域」，那麼
的「亮度變化」是：亮
暗
亮
暗
亮
無限趨於暗 。這個變化方式可以從上面的第一圖中看出來。
電子云描述的是在電子在空間某處出現的概率大小，上面所說的亮度刻畫的就是這個概率。下圖是電子云的空間結構：
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