傅裏葉變換中的不確定性原理（一）
下面這篇文章將從直觀理解的角度解釋傅裏葉變換中的不確定性原理。
其中主要參考了這個視頻：非常推薦！
https://www.bilibili.com/video/av20317906?t=1073傅裏葉變換中的不確定性原理其實就是時域和頻域的不確定性原理，即一個信號不可能同時在頻域和時域具有任意小的解析度。通俗來說就是，對於一個信號，時域越長，頻域越短（集中）；時域越短，頻域越長。
1.不確定性原理的實例
- 傅裏葉變換中的縮放定理。
如果 ，那麼
。從這個公式中也可以看出，頻域和時域的變換關係是相反的。
以高斯函數為例：
- 再比如，對不平穩信號進行分析時，有一種短時傅裏葉變換（STFT）的方法。這種方法受到不確定性原理的制約。如果要提高時域上的解析度，那麼分段就要小；而如果分段小了（時域短），頻域就會分散。
- 多普勒雷達應用
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2.時域頻域不確定性原理的解釋
考慮兩個汽車在路上以差不多的頻率閃燈。在最開始的時候，你其實並不能很確定的判斷他們閃燈的頻率是否相等；因為如果頻率相差很小，在比較短的時間裡，你是看不出來的。但是隨著觀測的時間變長，如果他們還是以相似的頻率閃動話，你就越能確定他們的頻率是一樣的。
這就好比兩個人跑步，一個人200m/min;另一個人201m/min，觀測一分鐘只有1m的差距。但是隨著觀測時間變長，兩人之間的差距也越來越大。
兩個頻率相近的信號也是如此：在時域中，開始時比較相似，隨時間變長，兩者的差距越來越明顯。
下面我們在頻域中觀察兩個頻率相近的信號，一個為 ,一個
。發現時域較短時，頻域中兩個峯值會融合；時域較長時兩個峯值則會分開。
我們知道，傅裏葉變換是將信號分解為若干個三角基之和，而求基向量的係數的時候需要用內積操作。我們前面說過，如果一個信號比較短，那麼在頻域中，其相似頻率的信號與其本身相差不大。（例如3Hz和3.1Hz的信號在時間短的情況下相差不大）所以對信號進行分解時，所求得某個基向量與其相鄰基向量的係數就會相差不大，（例如3Hz時為1，2.9Hz、3.1Hz的係數都是0.8）。因此這種情況下，頻譜會出現分散。
而當信號很長時，頻率稍有一點不同，也可以明顯的體現出來，這時候內積求得的係數差距就會較大。（例如3Hz時為1，2.9Hz、3.1Hz的係數都是0.2），這種情況下，頻譜比較集中。
因為傅裏葉變換是以三角基為基向量的分解，而三角基是無限長的，覆滿了這個時域。所以一個信號時域越長，就有越多的信息來進行投影操作，所得的頻域信息就越準確，解析度就越高。
3.與海森堡不確定性原理的關係
前面我們大致說了一下，傅裏葉變換中不確定性的現象和原因。但它和著名的海森堡不確定性原理有什麼關係呢？其實二者是同一個事物。
- 德布羅意波
物質是波
物質波的概念最先由法國物理學家路易·維克多·德布羅意提出。他指出，任何物質都可以看作是波的存在。對於一個微觀粒子來說，它在空間中沒有確定的位置，它在空間中某個地方出現有一定的概率。描述粒子在空間中分佈的概率密度函數就是波函數。
- 量子力學基本關係
在量子力學，粒子的動量是由其波長決定的，而波長又由頻率決定，所以粒子的動量就正比於其波函數的頻率。
所以，本質上，粒子的波函數與波函數頻率的關係就是我們前面說過的時域和頻域的關係。
因此，一個粒子的位置越確定，其波函數就越集中，所以波函數的頻譜就越分散，動量就越不確定。
而實際上，量子力學中位置和動量的關係就是一個傅裏葉變換對的關係。
參考：
[1] https://www.bilibili.com/video/av20317906?t=1073
[2] 通向實在之路
[3] The Wavelet Tutorial
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