8.1 Lebesgue 被積函數幾乎處處為零的條件

列幾個比較有用的定理。令為測度空間。

Proposition 8.1 設為可測實值函數。若，那麼

證：任取

, 令

, 因為

, 我們有

0=int_Af ge int_Avarepsilon=varepsilonmu(A)

，故

。令

, 我們有：

$mu{x:f(x)>0}=mu(cup_{n=1}^infty{x:f(x)>1/n}) le sum_{n=1}^infty mu({x:f(x)>1/n})=0$ 。類似的，我們也能證明。證畢。

Proposition 8.2 令為非負可測函數。若 , 那麼

證：若

不是幾乎處處等於零，那麼我們可以找到一個

, 使得

, 其中 $A_n={x:f(x) >1/n}$ 。因為

非負， $int f ge int_{A_n}f$ , 故： $0=int f ge int_{A_n}f ge frac{1}{n}mu(A)$ , 矛盾。

下面介紹一個 Proposition 8.1 的推論。

Corollary 8.3 令為 Lebesgue 測度，。設是可積函數。 , 那麼

證：給定

, $int_{{b}} f = f(b) mu({b})=0$ 。所以: $int_a^b f=int_{[a,b]} f=int_{[a,b)} f=int_{(a,b]}f=int_{(a,b)}f$ 任取區間

, 我們有： $int_c^d f=int_{[c,d]}f=int fchi_{[c,d]}=int fchi_{[a,d]}-int fchi_{[a,c)}= int_a^d f-int_a^cf=0$

由 Proposition 1.5, 若是開集，那麼它可以寫成可數個互不相交的開區間 ${E_n}_{n=1}^infty$ 的並， $G=cup_{i=1}^infty E_i$ , 其中。令 $D_n=cup_{i=1}^n E_i,, f_n=fchi_{D_n}$ , 且 $int f_n=int fchi_{D_n}=int sum_{i=1}^nfchi_{E_i}=sum_{i=1}^nint fchi_{E_i}= 0$ ，這裡我們用到了積分線性性 Theorem 7.4

同時，我們有

。運用 Theorem 7.9 得： $int_G f=int fchi_G=lim_{n oinfty}int f_n=0$ 若 ${G_n}_{n in mathbb N}$ 是一列開集，且

, 運用類似的構造： $fchi_{G_n} o fchi_H, |fchi_{G_n}| < |fchi_{G_1}|$ , 由 Theorem 7.9, 我們有 $int_H f=lim_{n oinfty}int_{G_n} f=0$ .設

是 Borel 可測集，由 Propositopn 4.14, 我們可以找到一個開集序列 ${G_n}_{n in mathbb N}$ ,

, 且

, 由 Proposition 6.3(4) 可知 $int fchi_{H-E}=0$ 。再聯合 Proposition 6.3(5)，得： $int_Ef=int fchi_E=int fchi_H + int fchi_{H-E}=int_Hf =0$ 最後運用 Proposition 8.1 可得：

, 證畢。