1、頻率特性：穩定的線性定常系統在正弦信號的作用下，系統輸出的穩態分量與輸入的複數之比；其中，輸出的穩態分量振幅與輸入的振幅比A(w)稱為幅頻特性，輸出的穩態分量相位與輸入的相角之差φ(w)稱為相頻特性，即G(jw)=frac{C(jw)}{R(jw)}(=U(w)+jV(w))=A(w)e^{jvarphi(w)}。

2、頻率特性的幾何表示

  • 幅相頻率特性曲線：(簡稱幅相曲線或奈氏曲線或極坐標圖)：當w從0→∞變化時，G(jw)在複平面上的運動軌跡。畫圖方法：

法一：對每一個w值計算幅值A(w)和相角φ(w)，然後描點並將這些點連成光滑曲線；

法二：對每一個w值計算U(w)、V(w)，然後描點連線。

正實軸方向相角為零度線，逆時針方向正角度，順時針方向負角度。曲線上標註w增大的方向
  • 對數頻率特性曲線：（簡稱對數坐標圖或伯德圖）

①對數幅頻特性： L(w)=20lg A(w)

②對數相頻特性： varphi (w)

③橫坐標是頻率w，採用對數分度，單位是rad/s； 對數幅頻特性曲線的縱坐標為對數幅頻特性的函數值，採用均勻分度，單位是dB；對數相頻特性曲線的縱坐標為相頻特性的函數值，採用均勻分度，單位是（°）。

註：採用對數顯著優點是將頻率特性的幅值乘除變為相加減，簡化作圖。

w變化一倍，稱為一倍頻程，w每變化十倍，稱為一個十倍頻程。十倍頻程在w軸的間距為一個單位長度。一個倍頻程的間隔距離為0.301個單位長度

3、 典型環節的頻率特性

①比例環節 G(s)=K

幅相頻率特性： G(jw)=K，幅頻特性 A(w)=K； 相頻特性 φ(w)=0°；曲線為實軸上一點。

對數頻率特性：L(w)=20lgK； φ(w)=0°
改變K：幅頻曲線升高或降低；相頻曲線不變

②積分環節G(S)= frac{1}{s}

幅相頻率特性：G(jw)= frac{1}{jw}；幅頻特性： A(w)= frac{1}{w} ；相頻特性：-90°

對數頻率特性：L(w)=20lg frac{1}{w} =-20lgw； φ(w)=-90°
伯德圖中橫坐標採用對數分度，令x=lgw，則y=-20x，故對數幅頻特性是一條直線，斜率為-20dB/dec

③微分環節G(S)=S(純微分)

幅相頻率特性：G(jw)=jw；幅頻特性：A(w)=w； 相頻特性：φ(w)=90°

對數頻率特性：L(w)=20lgw；φ(w)=90°

一階微分環節G(S)=Ts+1

幅相頻率特性：G(jw)=Tjw+1；A(w)= sqrt{(Tw)^2+1} ；φ(w)=arctanTw

對數頻率特性：L(w)=20lgsqrt{(Tw)^2+1} ；φ(w)=arctanTw【 wTll 1時，L(w)≈20lg1=0，wTgg 1時，L(w)≈20lgTw】

註：在w=1/T時，低頻漸近線和高頻漸近線相交，稱為交接頻率。

二階微分環節G(S)= T^2s^2+2ζTs+1 （0<ζ<1）；G(jw)= 1-T^2w^2+2ζTjw

幅相頻率特性:A(w)= sqrt{(1-T^2w^2)^2+(2ζTw)^2}；φ(w)=arctanfrac{2ζTw}{1-T^2w^2}

【w=0時，A(0)=1，φ(0)=0°；w=1/T，A(1/T)=2ζ，φ(1/T)=90°；w=∞，A(∞)=∞，φ(∞)=180°】

對數頻率特性：L(w)=20lgsqrt{(1-T^2w^2)^2+(2ζTw)^2}；φ(w)=arctanfrac{2ζTw}{1-T^2w^2}令 frac{dA(w)}{dw} =0有：w_{r}=w_{n}sqrt{1-2ζ^2} ； M_{r}=A(w_{r})= 2ζsqrt{1-ζ^2}ζ越小，wr越接近wn，諧振值M_{r}越小；當ζ大於 frac{sqrt{2}}{2} 時，將不發生諧振，即A(w)隨著w增大而單調增大。

④慣性環節G(S)= frac{1}{Ts+1}

幅相頻率特性：G(jw)= frac{1}{Tjw+1}；A(w)= frac{1}{sqrt{(TW)^{2}+1}} ；φ(w)=-arctanTw

【當w=0時，A(0)=1，φ(0)=0°；當w=1/T時， A(1/T)= frac{1}{sqrt{2}} ， φ(1/T)=-45°；當w=∞時，A(∞)=0，φ(∞)=-90°】對數頻率特性：L(w)=20lgfrac{1}{sqrt{(TW)^{2}+1}}，φ(w)=-arctanTw【 wTll 1時，L(w)≈20lg1=0，wTgg 1時，L(w)≈20lg frac{1}{Tw}】

⑤振蕩環節G(s)=frac{1}{T^{2}s^{2}+2ξTs+1}(式中T= frac{1}{w_{n}} , 0<ζ<1)；G(jw)= frac{1}{1-T^2w^2+2ζTjw}

幅相頻率特性：A(jw)= frac{1}{sqrt{(1-T^2w^2)^2+(2ζTw)^2}}；φ(w)=-arctan frac{2ζTw}{1-T^2w^2}

【當w=0時，A(0)=1，φ(0)=0°；當w=1/T=wn時，A(1/T)= 1/2ζ，φ(1/T)=-90°；當w=∞時，A(∞)=0，φ(∞)=-180°】【令 frac{dA(w)}{dw} =0，有諧振頻率 w_{r} = w_{n}sqrt{1-2ζ^2} ，諧振峰值： M_{r} =A( w_{r} )= frac{1}{2ζsqrt{1-ζ^2}}當 w_n固定， zeta 越小， w_r越接近 w_n，M_{r}越大；當ζ大於 frac{sqrt{2}}{2} 時，將不發生諧振，即A(w)隨著w增大而單調減小】
ζ小於0.707時，ζ越小，wr越接近wn，Mr越大; ζ大於0.707時不發生諧振

對數頻率特性：L(w)=-20lg sqrt{(1-T^2w^2)^2+(2ζTw)^2}；φ(w)=-arctanfrac{2ζTw}{1-T^2w^2}

【 wTll 1時，L(w)≈20lg1=0，wTgg 1時，L(w)≈-20lg (Tw)^2】

⑥延時環節G(S)= e^{-τs}

幅相頻率特性：G(jw)=e^{-τjw}；幅頻特性：A(w)=1；相頻特性：φ(w)=-57.3τw

對數頻率特性：L(w)=0；φ(w)=-57.3w

①積分與微分環節

比較：

4、繪圖

  • 奈氏曲線製圖方法： G(jw)=frac{KPi_{j=1}^{m} ( au_j jw+1)} {(jw)^v Pi_{i=1}^{n-v} (T_i jw+1)}

①起點:令w→0，則G(j0)=lim_{w ightarrow 0}{frac{K}{(jw)^v}}= lim_{w ightarrow 0}{frac{K}{w^v}e^{j(-v90°)}}

0型系統：始於實軸(K,j0)的點

Ⅰ型系統：始於相角為-90°的無窮遠處;當w趨於0+時，曲線與虛軸平行Ⅱ型系統：始於相角為-180°的無窮遠處;當w趨於0+時，曲線漸進與負實軸平行

②終點: G(jinfty)=lim_{w ightarrow infty}{frac{KPi_{j=1}^{m} ( au_j jw+1)} {(jw)^v Pi_{i=1}^{n-v} (T_i jw+1)}} =0e^{-j(n-m)90^circ} ,n>m。

③與實軸的交點:令Im[G(jw)]=0，求出交點頻率w1，代入Re[G(jw1)]。

④與虛軸的交點:令Re[G(jw)]=0，求出交點頻率w1，代入Im[G(jw1)]。

⑤變化範圍(象限、單調性）

若無一階微分環節：相角單調減小，曲線平滑變化

若有一階微分環節：相角可能不是單調變化，曲線會出現凹凸現象
  • 伯德圖製圖方法：G(jw)=G_{1} (jw) G_{2} (jw)... G_{n} (jw)= prod_{i=1}^{n}A_{i}(w)e^{jsum_{i=1}^{n}{φ_{i}(w)}} =A(w) e^{jφ(w)}

對數幅頻特性：L(w)=20lgA(w)=20 sum_{i=1}^{n}{lg A_{i}(w)}

對數相頻特性：φ(w)= sum_{i=1}^{n}{φ_{i}(w)}傳遞函數由n個典型環節串聯起來，那麼其對數頻率特性曲線可通過線性疊加而成。

5、最小相位系統：傳遞函數在S右半平面上沒有零、極點。相角變化範圍最小。

非最小相位系統(在S右半平面上有零、極點；相角變化範圍大於最小相位系統）

最小相位系統：對數幅頻特性曲線的變化趨勢和對數相頻特性曲線的變化趨勢一致。

檢查系統在w→∞時的相角是否等於-90°(n-m)，可判斷系統是否為最小相位系統。

6、穩定性判據

  • 輔助函數F(s)=1+G_k(s)=frac{D(s)+N(s)}{D(s)} =frac{(s+z_1)(s+z_2)cdots(s+z_n)}{(s+p_1)(s+p_2)cdots(s+p_n)}

F(s)的零點zi為閉環傳遞函數的極點，F(s)的極點pi為開環傳遞函數的極點;

F(s)的零點和極點數目相同;F(s)和Gk(s)相差1.

在複變函數映射F下，s平面上任選一點s，在F(s)平面上找到一個對應的點；點 s=-z_j 和 s=-p_i 在F(s)平面上映射為零點和奇點。在s平面上，選擇一條不穿過F(s)的任意零點和極點的封閉曲線Γs，則在F(s)平面上也必然有一條封閉曲線ΓF（為什麼不穿過其零點和極點，是因為要確保每一個s，在其對應的F(s)都可以有一個值，那麼s平面上通過一周時，F(s)平面上必然也會通過一周），我們感興趣的不是ΓF的具體形狀，而是其包圍F(s)平面坐標原點的次數和運動方向。

left| F(s) ight|angle F(s) =frac{prod_{j=1}^{n}left|s+z_j ight|}{prod_{i=1}^{n}left|s+p_i ight|} [Sigma_{j=1}^{n}angle(s+z_j)- Sigma_{i=1}^{n}angle(s+p_i)]

當s沿Γs變化時，F(s)的相角變化為 Deltaangle F(s)=Sigma_{j=1}^{n}Deltaangle(s+z_j)- Sigma_{i=1}^{n}Deltaangle(s+p_i)

例如，假定s平面上Γs包圍了F(s)的一個零點z1，而其他零極點都位於Γs之外，那麼當動點s在s平面上圍繞著這條曲線，順時針走一圈的時候，只有z1的相角變化了-2π，其他的點都沒有變化，因此△∠F(s)等於△∠(s-z1)，F(s)的相角變化為-2π，說明F(s)在F(s)平面上順時針繞原點走了一周。同理，當有Z個零點時，對應F(s)就順時針走Z周，當有P個極點時，對應F(s)就逆時針走P周。

  • 幅角原理：s平面上的封閉曲線Γs包圍了F(s)的Z個零點和P個極點，則s沿Γs順時針運動一周時，F(s)沿ΓF曲線按逆時針方向包圍坐標原點的周數N滿足：N=P-Z。

  • 奈奎斯特穩定判據

由於 G_k(s)與F(s)相差1，因此在 G_k(s) 平面上看曲線包圍（-1，j0）就相當於F(S)包圍原點的情況：

①s沿Γs正虛軸變化，通過 G_k(s) 映射到ΓF，即奈奎斯曲線；

②s沿Γs無窮大半圓變化，因為n≥m，當|s|→∞時，所以 G_k(s) →0，映射F(s)平面上原點。③s沿Γs負虛軸變化，在F(s)平面映射是極坐標圖關於實軸的鏡像。

閉環系統穩定的充分必要條件：

Z=0，即N=P，其中Z為 F(s)在s 右半平面零點數(即特徵方程根在s右半平面個數)；N為奈氏曲線(即 G_k(s) 在s由 -jinfty ightarrow+jinfty 時的曲線) 逆時針包圍臨界點（-1，j0）的周數，P為F(s)在s 右半平面極點數(即 G_k(s) 在s右半平面極點數)。

註：如果只需畫w從0~∞時，公式變為Z=P-2N。

註：對於0型系統，只要畫出 G_k(s) 的奈氏曲線就可判斷其閉環穩定性。若閉環系統臨界穩定，此時奈氏曲線穿過臨界點，奈氏曲線逆時針包圍臨界點的周數不定。

註：對於I型II型系統，即G_k(s)=frac{Kprod_{i=1}^{m}(τ_{i}s+1)}{s^vprod_{j=1}^{n-v}(T_{j}s+1)}，由-jinfty ightarrow+jinfty 時s不能取原點值，故須對Γs進行必要處理，如下圖

令Γs在原點附近以半徑為ε趨於0的半圓從右側逆時針繞過原點，其他地方方向不變
w從0-變到o+時，θ從-90°變到+90°，這時在Gk(S)平面上映射的曲線將沿著半徑為無窮大的圓弧按順時針從v90°經過0°轉到-v90°。由於對稱，圖只畫正一半：求出G(j0+)，得出其幅值和相角；然後在那個點逆時針補畫v90°的虛線

註：有時圍繞點(-1，j0)的逆時針和順時針同時存在，造成計算困難，此時可通過曲線在（-1，j0）點左側負實軸上穿越次數來獲得N：N+表示(半)正穿越次數，N-表示(半)負穿越次數，有N=(N+)-(N-)。

w增大時，曲線自上而下通過（-1,j0）點左側的負實軸，為正穿越，如點2；w增大時，曲線自下而上穿過（-1,j0）點左側的負實軸，為負穿越，如點1；4點在(-1,j0)點的右側，不算穿越

Gk(jω)起於－1之左實軸，為半次穿越，記為?

註：最小相角系統G(jω)過(-1,j0)點時，閉環系統臨界穩定。

在小圖3~4中，幅相曲線離 (-1,j0)點越遠，相對穩定性越好
  • 對數頻率穩定判據：w從0~∞且Z=0時，N=P/2，即在L(w)＞0的區間內，φ(w)曲線對-180°線的穿越次數N為P/2。

奈氏曲線和Bode圖的關係：

①單位圓對應0分貝線，單位圓之外對應0分貝線以上（L(w)＞0），單位圓之內對應0分貝線以下（L(w)＜0）；

②奈氏曲線上負實軸對應於Bode圖曲線上的-180°線。③利用L(w)＞0的區間內，φ(w)曲線對-180°線的穿越次數來計算N，在L(w)＞0中，從上向下為負穿越，從下向上為正穿越。
若存在積分環節，在對數相頻特性曲線 w=0+處，由下向上補畫一條虛線，該虛線通過的相角為v90°

7、性能指標

  • 穩定裕度(要綜合考慮幅值裕度和相位裕度)

①相位裕度γ：開環頻率特性的幅值為1時，此刻頻率ωc為截止頻率，其相角與180°之和定義為相位裕度 γ=180°+ angle G_k(jw_{c})。

γ越大，穩定性越好。但過大會影響系統其他性能，一般γ為30°～60°；開環相頻特性再滯後γ度，則系統處於臨界穩定狀態；相位裕度為負γ＜0，則系統不穩定

②幅值裕度hg：相頻特性為-180°時(與負實軸相交)，此刻頻率ωg為相位穿越頻率，點(-1,j0)幅值與 A(w_g) 幅值之比為幅值裕度 h_g=frac{1}{A(w_{g})} ，對數幅值穩定裕度 L_{g}=-20lgA(w_{g})

幅頻特性A(w)再增大hg倍，系統臨界穩定；當hg大於1(即Lg大於0)時系統穩定(一般選Lg為6～20dB)，當hg小於1(即Lg小於0)時系統不穩定
伯德圖對應的Lg和γ
  • 動態性能(常採用相位裕度γ和截止頻率w_c來刻畫)

③截止頻率wc： 為G_k(s) 的幅值 A(w)=1 時的頻率。 w_c 越大且γ越小，系統的快速性越好，當 w_c 調到最大且γ調到0時，輸入和輸出基本一致。

  • 穩態性能：與低頻段斜率(即積分環節數目/型別)和點A(與系統放大係數即誤差係數)相關。

8、頻率性能指標和時域指標的關係

  • 典型二階系統（0<ζ<1）

G_k(s)=frac{w_{n}^2}{s(s+2ζw_{n})}，G_k(jw)=frac{w_{n}^2}{jw(jw+2ζw_{n})}=frac{w_{n}^2}{wsqrt{w^2+4ζ^2w_{n}^2}}∠-90°-arctan frac{w}{2ζw_{n}}

Φ(s)=frac{w_{n}^2}{s^2+2ζw_{n}s+w_{n}^2} ，閉環幅頻特性 M(w)=frac{1}{sqrt{[(1-frac{w^2}{w_{n}^2})^2+4ζ^2frac{w^2}{w_{n}^2}]}}

①穩定性：幅值裕度無窮大(其幅相曲線永遠不會穿越（-1，j0）)的左側。

②動態性能：

由wc定義有A(w_c)=frac{w_{n}^2}{w_{c}sqrt{w_{c}^2+4ζ^2w_{n}^2}}=1，截止頻率： w_{c}=w_{n}sqrt{sqrt{4ζ^4+1}-2ζ^2}

相位裕度

超調量： sigma\%=e^{-zetapi/ sqrt{1-zeta^2}} （關係：若 zeta 增大， gamma 隨之增大，sigma\%隨之減小。）

調節時間： t_s(5\%)approx 3/(zeta w_n)， t_s(2\%)approx 4/(zeta w_n) （關係：若zeta 不變，w_c 隨之增大，t_s隨之減小。）

9、頻率分析的特點：

①頻域穩定性是根據開環特性研究閉環系統的穩定性，不必求閉環特徵方程式（在傳遞函數未知情況下，無法使用勞斯判據或者根軌跡法判斷閉環穩定性，這時利用實驗方法測出其系統的開環頻率特性曲線，可分析系統的穩定性，還可指出系統的穩定裕度）。

②頻率分析法不僅適用於線性定常系統，還可以應用於某些非線性系統。

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