自動化都在幹什麼（2）：果殼中的王
即便我身處果殼之中，仍自以為是無限宇宙之王
I could be bounded in a nutshell, and count myself a king of infinite space——哈姆雷特第二場
身為學渣怎麼會看過哈姆雷特，上面這句話當然是從維基百科上抄下來的（誒嘿~）而且還沒有抄完整……咳咳，扯回來，相傳金庸……啊不對，霍金的《果殼中的宇宙》書名就來源於此。作為身殘志堅……啊呸，身體沒怎麼殘，不過志向也沒怎麼堅……的堂堂大自動化系的大好青年，深刻覺得咱也在做著一樣的事情，在小小的果殼裡搗鼓鬧騰，卻還能折騰出一股王者風範。我們繼續說說自動化都在幹什麼。
你這是坑爹吶！！！！（╯‵□′）╯︵┴─┴
老子學了這麼些年，你就告訴我老子在一個比果殼還小的圈子裡瞎折騰？！！
說好的自動化拯救世界呢？！！！！
說好的造高達呢？！！！！
教授們：呵呵……
呀咧呀咧~這真是一個問題啊，為什麼咱大洗衣機系整天研究個線性的東西呢？明明世界大部分是非線性的，我們還學死學活地折騰傳遞函數啊，超前滯後校正啊什麼的，這些可都是在線性模型的前提下才能說的啊！本學渣總覺得心裡不踏實。就好比我們課堂上只講怎麼打史萊姆結果到現實裏一看臥槽滿眼的魔王飛龍……導演這劇本不對啊！ 於是乎我想了又想想了又想，一學期課上都在想，考試的時候也在想……果不其然考的一塌糊塗——所以身為學渣，問題想不通就別想了。
如果走進教材店，隨便找一本講控制原理的書來，一般來說，課本上第一個例子都是什麼水槽灌水啊，電容充電啊，電機轉動啊之類的，沒見過蹺蹺板吧？一上來就寫蹺蹺板的那一定當年控制理論沒學好（比如本學渣我）。為啥呢？因為……蹺蹺板的方程列出來我們不知道怎麼弄啊！他是個非線性的方程啊！解都不會解還控制個P！水槽灌水電容充電電機轉動啥的，甚至像我們課本上那個看起來超級唬人的「火炮隨動系統」，又是運算放大器又是測速電機的，模塊連的眼花繚亂，其實那都是紙老虎，列個方程一下就現原形了——全都是線性的（線性常微分方程）
（↑↑這就是「看起來很厲害的樣子」的火炮隨動系統↑↑）
（↑↑這就是「看起來很厲害的樣子」的火炮隨動系統的方程↑↑）
線性系統好啊！大家喜聞樂見啊！於是紛紛表示讓我來分分鐘搞定給你看，什麼特徵根什麼模態，一時間其樂融融……當然「非線性系統我們不會解」這種搬不上檯面的事情都是不會說出來的。不過這也沒啥，你看三體人這麼牛逼的黑科技不也拿他們行星的軌道沒辦法嘛，這不是依靠主觀能動性可以解決的。
說到三體問題，哎，誰都搞不定吧，但二體問題可是從牛爵爺那時起就弄得清清楚楚啊，於是天文學家們就研究「限制性三體問題」，把三體問題往二體問題上靠（其實吧，也沒啥正統天文學家在搞還是一幫數學家在折騰比如超級大牛龐加萊同學）哎~這就可以把研究二體問題時候的一些經驗套路用上了（其實也不全是老套路，小龐同學還是發明瞭一些新的方法，比如提升逼格好工具「相圖」（是 Phase portrait，不是物理/化學裡面的 Phase diagram），不過作為學渣我是用不太來的）
咳咳……扯遠了……
所以我們只研究我們可以搞定的東西——基本上就是【線性】【時不變】【常】微分方程，連蹺蹺板這種東西都是高級進階水平了╮(╯_╰)╭……真要碰上了怎麼辦？那一定會想辦法把他轉化成線性的問題（就像上面把三體問題往二體問題上靠），然後去解決「線性化」之後的那個冒牌貨。
線性有啥好處呢？
首先呢，線性的方程可以求解，而且可以很快求解。當然不是說非線性的方程全部都解不出來，只不過我們能求解的非線性方程少得可憐，而且還沒什麼通用的方法，往往費力半天好不容易解出來了，也一眼看不出來到底穩不穩定。而線性系統呢，一眼就看出來，穩定就是穩定，不穩定就是不穩定。
第二呢，線性方程的解，性質比較「好」。不過這個「好」要說開去那就沒邊了，什麼柯西、皮亞諾、龐加萊……等等如雷貫耳（以及期末大魔王的根源）的大名就嚇得本學渣腿軟了，更別提什麼穩定性分析啊，什麼光滑流形啊，什麼稠密週期軌道啊……哎呀呀太可怕。總之，這個好呢，有時候指的是【無論我初始狀態怎麼樣，都能回到穩定】，有時候指的是【初始狀態差別不大的同一個系統，隨著時間演化，他們狀態一直差別不大】，等等。所以如果一個線性系統解出來是穩定的，那我們就放心了，不管條件怎麼變化總是差不離的；相反如果是非線性系統我們費了九牛二虎之力把他整穩定了，那麼實際用起來也不是那麼放心，有可能條件變化了一點點，輸出就面目全非了。
第三呢，線性方程的性質比較容易搞清楚。每個參數有一點變化，對結果有什麼影響，這些都是可以計算的。所謂一切盡在掌握，就是這樣。系統反應慢？那增加點比例係數有效果！ 系統震蕩不停？那減小點比例係數！不行還有微分環節和積分環節！要是非線性系統，那就不知道了。碰巧了系統穩定，碰不巧那就直接暴走了。
口說無憑，要來點生動有趣的例子纔行啊！這麼白紙黑字寫下來估計我自己也懶得看第二遍（臥槽我好像發現本學渣當年自控課沒學好的原因了！沒圖你說個賈斯汀比伯啊！） 看來不得不祭出龐加萊同學的大殺器「相圖」了。還記得上回那個蹺蹺板吧？
這是個非線性的系統。上回我不是隨手配置了個 PD 比例微分的控制器讓他穩定下來了麼？（閉環的方程懶得寫了……(o?ω?o)）但是這個穩定是真穩定嗎？初始條件變一變他還能穩定嗎？比如開始我用手推他一下給他個角速度……什麼什麼的？
來，上圖說話！
嘩~ ~ ~ ~ 相圖！！！瞬間高大上了有木有！格調一下子上升好幾個檔次有木有！ 看不懂沒關係，有不明覺厲的趕腳就對了~上面橫坐標是角度縱坐標是角速度，所以圖上每一個點就代表了系統的一個狀態。隨著時間流逝，系統狀態就沿著圖中的小箭頭演化。
圖中紅色的那條線就是上回我們假設的情況，初始狀態角度等於 π/6π/6，角速度為 0，最後回到了原點（角度為 0 角速度為 0，也就是蹺蹺板停在了水平位置）。而且可以看到，在原點附近比較大的一塊範圍內，無論我初始條件怎麼樣，最後系統狀態都會回到原點（蹺蹺板停在水平位置）——這裡原點就是一個「吸引子」（Attractor），這也代表我們控制是成功的，系統處在平衡位置的狀態是穩定的。
但是情況並不總是這樣啊，離原點稍遠的點，比如上面 ABC 三個點呢？只有 A 點在一段時間後能夠回到原點，B 和 C 兩點是回不來了，要麼像 B 點出發的那條綠線，這個蹺蹺板會一直朝一個方向轉下去（喂！這還叫蹺蹺板嗎！）要麼像 C 點出發的那條紫色線，蹺蹺板會大幅度的來回震蕩。你看雖然 ABC 三個點在剛開始的時候靠在一起，但是一段時間之後就分道揚鑣再也不相見了，系統的狀態完全不一樣。
這就是非線性系統，即使我加上控制器使得他在一定範圍內能夠穩定工作了，但也不代表他一直能穩定，甚至，即使從相近的初始狀態出發，後面系統的運行狀態也會大相徑庭（這是出現混沌的必要條件而非充分條件，但這不是混沌。上一篇日誌裏迴避了這個問題，蹺蹺板這個系統實際上並不存在混沌，在一維和二維連續系統裏是不存在混沌現象的，龐加萊同學最早提出這一點，參見 龐加萊－本迪克松定理……小龐同學，怎麼又是你？）。
那麼如果是線性系統呢？我們對這個蹺蹺板做一下「真空球形雞」化簡，在平衡位置附近， cosθ≈1cos?θ≈1，我們略去這一項，再代入反饋控制，繼續忽略交叉項和高次項（霍金說多一個公式就少一半讀者，所以這個真空球形蹺蹺板的閉環方程我就不寫了，反正上面也沒寫嘛，寫了開環的意思意思夠了╮(╯▽╰)╭），我們就可以畫出「真空球形蹺蹺板」的相圖了：
是不是很酷炫？你看整個相空間的點毫無例外都被吸引到原點啦~~媽媽再也不用擔心蹺蹺板不穩定啦（←_←明明是真空球形蹺蹺板好不好，和真的蹺蹺板差遠了……） 所以線性系統如果某一個解是穩定的那就可以放心睡大覺了~
好啦，我們知道線性系統有好多好處，不過，咱自動控制理論大部分情況只研究線性模型，研究的對象只不過是世界的一小部分的一小部分的一小部分而已，為什麼在很多很多地方都能用呢？蛟龍入海玉兔奔月，這些怎麼想都不全是線性系統吧，怎麼控制的？打史萊姆的經驗可以用來打大魔王？
這就要說線性模型接下來的優點了：
第四，線性模型在局部可以逼近非線性模型。我們研究線性模型的性質，也就掌握了非線性模型的局部的性質。特別在系統平衡位置附近，系統狀態偏差不大的情況下，線性模型能夠很好的描述這個系統。看上面的相圖，第一幅圖在原點附近放大了看，是不是和第二幅圖差不多？這也就是說，帶 PD 控制的蹺蹺板這個閉環系統，平衡位置附近行為，就和那個「真空球形蹺蹺板」是很像的。
以及，灰常灰常重要的，李雅普諾夫穩定性判據（第一方法）
李雅普諾夫告訴我們，如果一個非線性系統簡化為「真空球形雞」後是穩定的，那麼原先的系統（在平衡位置附近）也是穩定的；如果「真空球形雞」是不穩定的，那麼原先的系統也是不穩定的。所以你們放心去做吧！（其實這麼說不太嚴謹……哎呀學渣本來記憶就不行課本又不在手邊，這個李同學的原話是啥咱就不關心了哈）
簡直是撥雲見日啊！彷彿眼前打開了一座輝煌殿堂的大門：數學家為我們畫出了世界的地圖，物理學家帶我們認識世界，工程師跟在後面比著地圖移山填海。
——這纔是尚方寶劍。
有了這把尚方寶劍，我們才能安心在果殼裡稱王，卻把整個世界玩轉在掌心；拿著砍史萊姆的裝備去挑城堡裏的惡龍，還能救出美麗的公主。
運籌帷幄之中，而決勝千里之外。
最後貼一下動態過程，說明一下蹺蹺板狀態和相圖上的點是怎麼對應的
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