9.1 Riemann 積分的定義跟性質

Definition 9.1 令是有界函數，令 $P={x_0,x_1,ldots,x_n}$ 是區間的一個分割 (partition)，其中。令:

$m_i=inf{f(x):x_{i-1} le x le x_i}$ , $M_i=sup{f(x):x_{i-1} le x le x_i}$ 定義如下兩個階梯函數 (step function), 令

：

$alpha_P(x)= egin{cases} m_i, ,x in [x_{i-1},x_i) \ m_n,, x=b end{cases}$ , $eta_P(x)= egin{cases} M_i, ,x in [x_{i-1},x_i) \ M_n,, x=b end{cases}$

則

forall x in [a,b], alpha_P(x) le f(x) le eta_P(x)

。令： $U(P,f)=I(alpha_P)=sum_{i=1}^n eta_P(x)(x_i-x_{i-1})=sum_{i=1}^nigg(sup_{x_{i-1}le x le x_i}f(x) igg)(x_i-x_{i-1})$ $L(P,f)=I(eta_P)=sum_{i=1}^n alpha_P(x)(x_i-x_{i-1})=sum_{i=1}^nigg(inf_{x_{i-1}le x le x_i}f(x) igg)(x_i-x_{i-1})$

那麼顯然。定義：

$mathscr Roverline{int_a^b} f(x),dx=inf{U(P,f): P 為 [a,b] 的分割}$ $mathscr Runderline{int_a^b} f(x),dx=sup{L(P,f): P 為 [a,b] 的分割}$ 我們說 Riemann 積分

存在，當且僅當 $mathscr Roverline{int_a^b} f(x),dx=mathscr Runderline{int_a^b} f(x),dx= mathscr Rint_a^b f(x),dx$ 註：由以上的定義，若

不是有界的，則它不是 Riemann 可積的。

註：上面定義的階梯函數就有點簡單函數的味道，而跟簡單函數的 Lebesgue 積分類似，最後， $mathscr Runderline{int_a^b} f(x),dx$ 和 Lebesgue 積分也很接近。

Definition 9.2 區間分割的細化 (Refinements of partitions)。令 $Q={x_1,x_2,ldots,x_m},, P={y_1,y_2,ldots,y_n}$ 是區間的兩個分割。稱是的一個細化分割，若每一個由分割的區間 $I_k=[y_{k-1},y_k]$ 都可以寫成一個或多個分割的區間 $J_l=[x_{l-1},x_l]$ 的 "幾乎"無交並 (這裡 "幾乎" 是指我們允許的區間端點可以重合)

註：直觀理解,

保留了

中所有的分割點，然後在此基礎上插入了更多的分割點；可以記成，

Example 9.3 考慮區間上的分割： ; 則是的一個細化，但卻不是的一個細化。

Theorem 9.4 是區間上的有界函數, 是的兩個分割。是的細化，即；則 $alpha_{P}(x) le alpha_P(x); eta_P(x) le eta_{P}(x)$ ，且。

證：略。

Corollary 9.5 是區間上的有界函數，是的兩個分割, 則

證：取分割，使得 , 由 Theorem 9.4 知：
, 證畢。

下面介紹一下 Riemann 可積的 Cauchy 條件

Theorem 9.6 有界函數

是 Riemann 可積的，當且僅當

forall varepsilon >0,,exists 分割 P, , s.t., U(P,f)-L(P,f) <varepsilon

證：任取 , 我們可以找到一個的分割，使得。因為 $mathscr R overline{int_a^b}f(x),dxle U(f,P); mathscr R underline{int_a^b}f(x),dxge L(f,P);$ 我們有：
$0 le mathscr R overline{int_a^b}f(x),dx-mathscr R underline{int_a^b}f(x),dx le U(f,P-L(f,P) < varepsilon$ 。是任取的，所以我們必須有 $mathscr R overline{int_a^b}f(x),dx-mathscr R underline{int_a^b}f(x),dx=0$ , 故是 Riemann 可積的。因為是 Riemann 可積的，任取 , 我們都能找到的分割 , 使得： $U(f,Q) < mathscr R overline{int_a^b}f(x),dx + frac{varepsilon}{2};, L(f,R)> mathscr R underline{int_a^b}f(x),dx - frac{varepsilon}{2}$ 我們取分割為共同的細化，根據 Corollary 9.5 我們有： $U(f,P) - L(f,P) le U(f,Q)-L(f,R) < mathscr R overline{int_a^b}f(x),dx-mathscr R underline{int_a^b}f(x),dx + varepsilon$ 因為是 Riemann 可積的，我們有 $mathscr R overline{int_a^b}f(x),dx-mathscr R underline{int_a^b}f(x),dx=0$ , 於是上面的不等式就變成了，證畢。