Proposition 7.13 令 (X,mathcal A, mu) 為一測度空間， f 為非負可測函數，那麼 phi(E) =int_Ef,dmu 是可測空間 (X,mathcal A) 上的一個測度。若 int_X f ,dmu < infty , 那麼 forall varepsilon >0,, exists delta > 0,,s.t. A in mathcal A, mu(A) < delta Rightarrow phi(A) < varepsilon (這個也成為測度的連續性)

證：略。證明應該很直觀，我們後面講到符號測度的時候再詳細講, 這邊先留個印象。

Definition 7.14 高斯測度 (Gaussian Measure on mathbb R ): mu^G(A)=frac{1}{sqrt{2pi}}int_Ae^{-x^2/2},dmu , 其中 mu 是 Lebesgue 測度。

註： e^{-x^2/2} 是連續函數，所以是 Lebesgue 可測的。

Corollary 7.15 令 f: mathbb R o mathbb R 是可積的， a in mathbb R 。定義 F(x)=int_a^xf(t),dt , 那麼 F 是連續函數。

證：給定 x_0 in mathbb R , forall {x_n}_{n in mathbb N}, , s.t. , lim_{n oinfty}x_n=x_0 , 定義 f_n=fchi_{[a,x_n]} , 則 F(x_n)=int f_n 。令 g=|f| , 則 g 非負可積。 forall t in [a,x_0), ,exists, N in mathbb N,,s.t., n > N Rightarrow t < x_n Rightarrow chi_{[a,x_n]}(t)=1; forall t in (x_0, infty), , exists ,Min mathbb N, , s.t., n >M Rightarrow chi_{[a,x_n]}(t)=0 ; 同時單點集 {x_0} 是 Lebesgue 零測集。於是 chi_{[a,x_n]} o chi_{[a,x_0]},, a.e.(m) , 所以 f_n o fchi_{[a,x_0]},, a.e.(m) (即，除了點 x_0 處以外都收斂)。至此，運用控制收斂定理 (Theorem 7.9) 的條件就都具備了, 於是我們有：

lim_{n oinfty} int_a^{x_n} f =lim_{n oinfty} int f_n = int fchi_{[a,x_0]}=int_a^{x_0}f 。即，forall {x_n}_{ninmathbb N}, x_n o x_0Rightarrow F(x_n) o F(x_0), 證畢。

Corollary 7.16 若 g 是可測函數， h 是可積函數，且 |g| le h, ,a.e.(mu) ; 那麼 g 也是可積的

證： g^pm le |g| Rightarrow int g^pm le int |g| le int h < infty , 證畢。

Example 7.17 alpha ge 0 , 求 lim_{n oinfty}int_{alpha}^inftyfrac{n^2xe^{-n^2x^2}}{1+x^2} ,dx

解：令 y=nx , 則 int_{alpha}^infty frac{n^2xe^{-n^2x^2}}{1+x^2} ,dx=int chi_{[nalpha,infty)}(y)frac{ye^{-y^2}}{1+y^2/n^2} ,dy

注意到 igg|chi_{[nalpha,infty)}(y)frac{ye^{-y^2}}{1+y^2/n^2}igg| le ye^{-y^2} , 且 ye^{-y^2}可積。若 alpha > 0 , 那麼當 n > y/alpha 時， chi_{[nalpha,infty)}(y)=0 ；故 chi_{[nalpha,infty)}(y)frac{ye^{-y^2}}{1+y^2/n^2} 逐點收斂到 f(x)=0 , 運用控制收斂定理 (Theorem 7.9)，我們有 lim_{n oinfty}int_{alpha}^inftyfrac{n^2xe^{-n^2x^2}}{1+x^2} ,dx=0 若 alpha=0 , lim_{n oinfty}int_{alpha}^inftyfrac{n^2xe^{-n^2x^2}}{1+x^2} ,dx=int_0^{infty}ye^{-y^2}=frac{1}{2}

Definition 7.18 我們稱 sum_{n=1}^infty f_n 在 X 上有界收斂 (converge boundedly), 當且僅當存在 K >0 , 使得 forall x in X, N ge 1, 我們都有 |sum_{n=1}^Nf_n(x)| <K 且級數 sum_{n=1}^infty f_n(x) 存在

Theorem 7.19 令 g 是可積函數， {f_n}_{nge1} 是可積函數列，且 sum_{n=1}^infty f_n 有界收斂 a.e.；那麼 gsum_{n=1}^infty f_n 是可積的，且 sum_{n=1}^inftyint g f_n,dmu = int g sum_{n=1}^infty f_n,dmu

證：令 g_N=gsum_{n=1}^Nf_n , 那麼 |g_N| le K|g| a.e., 由控制收斂定理 (Theorem 7.9)， lim_{N oinfty} int g_N,dmu = int lim_{N oinfty}g_N,dmu （式 7.7)

反覆使用 Theorem 7.4，我們有 int gsum_{n=1}^N f_n=int sum_{n=1}^N gf_n=sum_{n=1}^Nint gf_n , 兩邊對 N 取極限並代入(式 7.7): sum_{n=1}^infty int gf_n= lim_{N oinfty} sum_{n=1}^N int gf_n= lim_{N oinfty} int gsum_{n=1}^N f_n=int lim_{N oinfty} gsum_{n=1}^N f_n=int gsum_{n=1}^infty f_n , 證畢。

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