9.3 Riemann 意義下的微積分基本定理

這邊給出 Riemann 意義下的微積分基本定理，用來對比我們後面十四章討論 Lebesgue 意義下的微積分關係。

Theorem 9.11 令在上連續，在上可導，且 , 其中是 Riemann 可積的，那麼：

證：令 $P={a=x_0,x_1,x_2,ldots,x_{n-1},x_n=b}$ 是區間的分割，那麼
$F(b)-F(a)=sum_{k=1}^n[F(x_k)-F(x_{k-1})]$ 。任取 , 在 $[x_{k-1},x_k]$ 上連續，在 $(x_{k-1},x_k)$ 可導，且。由中值定理，我們可以找到一個 $c_k in (x_{k-1},x_k)$ ，使得： $F(x_k)-F(x_{k-1})=f(c_k)(x_k-x_{k-1})$ 。因為是 Riemann 可積的，我們有： $m_k(x_k-x_{k-1}) le F(x_k)-F(x_{k-1}) le M_k(x_k-x_{k-1})$ , 其中 $M_k=sup{f(x), x in [x_{k-1},x_k]}, m_k=inf{f(x), x in [x_{k-1},x_k]}$

所以。注意到這裡的分割是任取的, 於是：
$mathscr R underline{int_a^b}f le F(b)-F(a) le mathscr R overline{int_a^b}f$ 。因為是 Riemann 可積的，我們有 $mathscr R underline{int_a^b}f =mathscr R overline{int_a^b}f =mathscr R int_a^b f =F(b)-F(a)$ ，證畢。

Theorem 9.12 令在上 Riemann 可積，且在點處連續，那麼：

$lim_{h o 0^+}frac{1}{h}mathscr Rint_a^{a+h}f(x) , dx=f(a)$

證：設是一個常數，那麼我們有： $k=frac{1}{h}mathscr Rint_a^{a+h}k,dx$ , 於是我們有：
$frac{1}{h}mathscr Rint_a^{a+h}f(x),dx-f(a)=frac{1}{h}int_a^{a+h}(f(x)-f(a)),dx$

任取 , 因為在點處連續，我們能找到一個，使得：
。所以若 , 我們有： $igg| frac{1}{h}int_a^{a+h}f(x) ,dx-f(a)igg| =igg| frac{1}{h}int_a^{a+h}[f(x)-f(a)] ,dxigg| le frac{1}{h}cdotsup_{a le xle a+h}|f(x)-f(a)|cdot h le varepsilon$

證畢。