我們先根據題乾的條件做出一個角a為60°的三角形ABC，將其餘條件標在三角形上。其實作圖的過程也是我們整合題目條件的過程。接下來我們將題目所給條件繼續標在圖中。BC=2DC,所以B點在BC靠近C的三等分點上。事實上，如果沒有這個坐標系，那麼AE=λAC-AB和AD·AE=-4，這兩個條件我們在使用時是非常困難的，所以我們需要一個坐標系來運用這些條件。

A點在原點，坐標為（0,0），AC=2，C點坐標為(2,0)。根據角a=60°，且AB=3，將B在AC上做投影，運用特殊角的正餘弦值求出B的坐標(3/2,3√3/2)。標出A,B,C三個點後，考慮到BD=2DC這個條件，設D點坐標為(x?,y?)，根據向量的表達方式得出BD=(x?-3/2,y?-3√3/2，DC=(2-x?,0-y?)，BD=2DC，將BD，DC帶入BD=2DC中，得出D坐標為(11/6,√3/2)——這部分我用綠色的線標出。

得出所以點的坐標之後，接下來看下方粉紅線標出的部分。AE=λAC-AB=(2λ-3/2,-3√3/2)。已知AE，則AD·AE作為兩個向量的點積等同於已知，表示方法為兩向量橫坐標相乘加兩向量縱坐標相乘即AD·AE=(11/6,√3/2)·(2λ-3/2,-3√3/2)=11λ/3-5，且AD·AE=-4，聯合上述兩式，得出λ的值，為3/11。這個做題的思路是非常簡單流暢的，這也就是最後的標準答案。

將向量首尾相加減的方法，雖然同樣可以做出這道題，但是它卻不具有實戰性的意義。建系標點的方法優越點就在於你不需要去構建思路，只需要順著題目的條件，在坐標軸中標出這些條件，剩下的一切你只需要跟著題目中的條件，最後解出一個式子，將這個式子解開，就可以得到答案。

而且這個方法的普適性是其它方法比不了的，建系標點雖然不是最快的解題方法，但是一定是最穩的——這種方法不需要你去思考解題的思路，也就大大的避免了在做題時思路卡殼的問題。

因此，我想通過這道題向你強調：在高考數學的平面向量相關題目中，優先推薦大家採用建立平面直角坐標系，以向量坐標運算的方式來解答這類題目。

02、建立坐標系的基本原則

但是在用這個方法的同時也要注意一個非常關鍵的問題。

在建立坐標系時要有一定的原則，而不是隨意建立。

建立坐標系的基本原則就是：你不能破壞題目中的條件，尤其是題目中有些特殊的角度。

比如上題中的角A，必須將A放在原點確保60°這個條件可以被我們用到。而不是如下圖所展示的作圖方式：

因為對於這種錯誤的建系方式，我們無法求出A的坐標，也無法進行下一步的運算。而將A放在縱坐標上則更不可取，這樣做出的圖像就直接破壞了角a=60°這個條件，也無法解出題目。

所以我們在建系時一定不能破壞題目給我們的條件——尤其是角度，一定要將角合適的位置來運用這個條件。

03、復盤：這道題我們學到了什麼

我們現在來梳理一下這篇文章的重點：

1.在解決向量類問題時，推薦使用建立平面直角坐標系的方法。原因:普適性高且方法穩定。

2.在建立坐標系時，不可以破壞題目中原有的條件，尤其是角度。

當然，具體到這道題目而言，平面向量基本定理也是一個可行的思路，我在《高考數學15講》的「平面向量」這一章節中對這個方法還有更系統的解釋，你可以微信搜索「效率研究所」，並在左下角「線上課程」中找到它，歡迎你和大家一起學習。

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