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家長是孩子最好的老師，

這是奧數君第680天給出奧數題講解。

今天的題目是數論問題，

所用知識不超過小學5年級。

題目（超5星難度）：

3^2018能否寫為兩個正整數的平方和？

註：3^2018表示3的2018次方。

講解思路：

這道題目中條件非常少，

如果執著於3^2018這個數，

很難求解出正確答案。

不妨將題目中的條件放寬一點，

把2018換為任意一個正整數，

考慮如下的問題：

對於任意一個正整數k，

3^k能否寫為兩個正整數的平方和？

步驟1：

先思考第一個問題，

任何一個正整數的平方除以3，

餘數可能是多少？

這個問題很簡單，

任一自然數除以3的餘數有3種：

(1)當這個自然數是3的整數倍，

其平方除以3的餘數是0；

(2)當這個自然數除以3餘數為1，

其平方除以3的餘數是1；

(2)當這個自然數除以3餘數為2，

其平方除以3的餘數還是1。

因此正整數的平方除以3餘數是0或1。

步驟2：

再思考第二個問題，

如果3^k=m^2+n^2，

m和n應該滿足什麼條件？

首先m^2+n^2一定是3的整數倍，

但從步驟1的結論知道，

m^2和n^2除以3餘數是0或1，

要使m^2+n^2是3的整數倍，

必須有m和n都是3的整數倍。

步驟3：

綜合上述兩個問題，

考慮原問題的答案。

假如3^k=m^2+n^2，

則所有滿足條件的k中，

一定有一個最小的正整數a。

從步驟2知道，

m=3p,n=3q，其中p、q為正整數。

代入即3^a=(3p)^2+(3q)^2，

兩邊同時除以9有：

3^(a-2)=m^2+n^2。

也就是說a-2也滿足條件，

這與a是滿足條件的最小正整數矛盾，

故3^k不能寫為兩個正整數的平方和，

當k=2018是也不能，

所以原題的答案是不能。

思考題（4星難度）：

5^2018能否寫為兩個正整數的平方和？

獲得思考題答案方法：

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註：過4個月之後，關鍵詞回復可能失效。

同類題目鏈接：

18年11月12日題目（數論問題）

18年11月11日題目（數論問題）

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