真题精讲 - 10 | 影响平面向量和差模长的因素分析（2,700+字压轴分析，建议精读）
时刻思考「哪些因素能够影响题目所求的结论」是进行问题构思的一条基本原则，例如对于今天提及的这道压轴题，我们需要了解：Ia+bI 和 Ia-bI 的值总是由三部分决定：IaI，IbI和夹角θ.
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高考数学 | 高频真题100讲
在上一篇文章中，我们系统地谈论了「三角函数求最值」这一类问题的两类经典策略。事实上、三角函数求最值有许多种考法，除了之前文章中讲到的形式、还有一种最常见的考法就是 三角函数与向量结合求最值 —— 这就是我们今天这一讲的重点。
01、其他省份的高考题对我有没有意义？
这一讲我会用到两道题，一道来自浙江卷，一道则来自全国课标卷——这两道题目内在的逻辑几乎完全一样，这也顺便回答一个问题：浙江作为高考课程改革的试点省份，考试方式跟其他的省份都不一样，浙江的考生还有没有必要去做其他省份的题目？
而我希望通过今天的这两道题告诉你们，无论考试模式如何变化、高考的形式如何改革，数学考纲内的知识点和相应知识点的考法都是很难改变的，因此不同省份之间的试题相互之间绝对有借鉴意义。
比如我们可以看一看这两道题目，第一道是2017年浙江卷理科数学的15题：
这道题是关于向量的最值问题。我们再来看第二道题，2017年全国课标卷一理科数学的第13题：
我们仅仅只看这两道题的题目就会发现，在题目设置和考察方式这两个方面，全国卷和浙江卷的题目是非常相似的：这是两道关于「向量四则运算与模长关系」的题目，为了更好地解答这道题目，我需要带著大家先回忆一下关于《平面向量》的知识点。
02、回 顾：平面向量的相关知识
我把你需要用到的知识点放在了下面这页PPT上：
首先我们要了解什么是向量的模长。向量IaI作为一个矢量，它是有方向，有正负的，向量的模长作为一个标量，只能为正。而两个向量的点乘是一个标量，那么我们如何求向量IaI的模长？就是用它自身乘上它自身，这样会得到一个向量模长的平方，然后再开根号，这就是向量的模长。
同样的Ia+bI2也就是（a+b）x（a+b）。我们将括弧拆开后会得到IaI2+IbI2+2a·b，
IaI2+IbI2我们可以容易算出，而a·b则可以转化为IaIIbIcosθ，θ是a,b的夹角。同理Ia-bI也可以用同种方式算出。
我们再看一下化简出来的式子，我们会发现，无论是Ia+bI还是Ia-bI，他们的值总是由三部分决定，IaI，IbI和夹角θ。——也就是上图最后一句用红字标出的内容。
了解这一点，我们才能进行下一步的运算。
事实上「平面向量」这部分的内容可以与许多部分进行关联命题，我在《高中数学15讲》中还有更多与之相关的深度讲解，微信搜索「效率研究所」，你可以在左下角「线上课程」中找到这次讲解。
03、策 略：基础知识应该如何学？
我在 关于方法论的课程 中讲过的一个数学的解题基本思路，就是在你学习知识的时候，一定要弄清楚两件事：
1、如果已知一个条件，这个条件能达到的最大效果是什么？
2、如果要求一个问题，我们至少需要知道哪些条件才能解出它？
知道第1点，我们可以了解我们手里有什么解决问题的条件；知道第2点，我们可以知道我们需要去寻找哪些条件来解答问题，这对于数学问题解题思路的构建是至关重要的。
带著这样的启示，现在我们回归题目。
04、应 用：一道题目的构思演示
先来看全国卷的这道题最终要求的是Ia+2bI，我们根据上面的思路来看这道题，已知IaI，IbI和θ，要解出题目，我们需要知道IaI，IbI和cosθ。
我们再来看浙江卷的题目：
无论想要求解Ia+bI还是Ia-bI，如果想要求出它们的值，我们需要知道IaI，IbI和夹角θ，但是题目只给了IaI和IbI，夹角θ未知且是一个变数——毫无疑问，Ia+bI+Ia-bI的值随著θ的值变化而变化，整道题目的解题关键就落在了θ上。所以这道题在思路上是希望我们把原式化简，写成关于θ的函数形式，在给定θ的区间求原式的最大值和最小值。
所以第一个解题步骤是化简Ia+bI+Ia-bI，应用我们在第02部分讲过的基础公式，可以得到f(θ)= √5+4cosθ+√5-4cosθ——对于函数来说，第一个要考虑的因素一定是它的定义域（点击这里，复习函数类问题的核心策略），但考虑到θ是两向量的夹角，所以θ的取值范围是确定的：[0,π]。
实际上，这道题最终被转化为了求f(θ)= √5+4cosθ+√5-4cosθ在定义域[0,π]上的最大值和最小值：
接下来就是一些简单的运算了：作为一个含有未知参量的方程，我们要求最值，最好的方法是将含有未知参量的项都放在一起，且去掉根号。对于本题来说，最直观的方法就是平方，这样我们就得到了f2（θ），在f2（θ）里只有一项含未知参量，这一项的变化就决定了整个函数的变化。所以我们只需要关注含cos θ的这一项，因此我们可以通过cosθ的增减性推导出 cos2θ的增减性，进而得知f2（θ）的增减性，为先增后减：
至此为止，这道题我们基本上算是做完了，事实上第二道全国卷的题目比这道浙江卷的还更加简单一点，但是用到了相同的知识点，我把它的解答放在下面这页PPT中：
05、复 盘：本讲核心要点归纳
仔细梳理本讲谈到的这两道题，我们可以学到的是：
1、无论考试形式如何改变，在高中数学的考试中，知识点和考查方式是必定不会改变的；
2、思考一道题时题目给了条件，我们一定要深究这个条件到底能达到什么最大的效果，并且考虑至少知道几个条件才能解出这个问题；
3、我们重新复习了通过判断函数单调性求解函数最值的基本框架。
类似的问题在2018年的高考真题中也同样出现，用到了相同的解答策略，你可以在《万剑归宗十套卷第二期：2018年高考真题精讲》中收听这道相关题目的讲解。欢迎你和大家一起学习。
/ 往 期 回 顾
01 / 真题精讲 - 01 | 分析「函数」的基本原则
02 / 真题精讲 - 02 | 通过「定义域」构建解题思路
03 / 真题精讲 - 03 | 通过「单调性分析」构建解题思路
04 / 真题精讲 - 04 | 函数「对称性」的条件识别原则
05 / 真题精讲 - 05 | 使用正弦定理进行「边角互化」的基本原则
06 / 真题精讲 - 06 | 从源头追溯「余弦定理」& 文理科知识点的异同
07 / 真题精讲 - 07 | 三角函数求最值的常规原则
08 / 真题精讲 - 08 | 三角函数求最值的转化思路
09 / 真题精讲 - 09 | 题目条件可以「用了再用」
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