對於一元二次方程 ax^2+bx+c=0 ,我們由求根公式可得：

x_{1,2}=frac{-bpm sqrt{b^2-4ac}}{2a} 。

對於一元三次方程 ax^3+bx^2+cx+d=0 ,我們有卡爾丹公式法和盛金公式法。不過公式比較冗長、不易計算，但我們還是有方法計算的，那麼如果是一元四次、一元五次甚至更高呢？

遇到高次方程 P(x)=0 我們通常的做法是先用試根法(the rational zero test)找到方程一個根c，然後根據Factor Theorem可知， P(X)=(x-C)Q(x) 。於是，我們把P(x)次數降低了，只需要找 Q(x)=0 的根就可以了。如果次數還比較高，繼續採用試根法找根、降次，直至找到所有的根。

圖：試根法

這裡給出一道例題：

根據試根法可知，根是100的因子，從1開始，發現 x=-2 是方程的一個根，那麼

x^{4}-3 x^{3}-20 x^{2}+30 x+100=(x+2)left(x^{3}-5 x^{2}-10 x+50 ight) 。接著又發現 x=5 是 x^{3}-5 x^{2}-10 x+50=0 的根，所以得到： x^{4}-3 x^{3}-20 x^{2}+30 x+100=(x+2)(x-5)left(x^{2}-10 ight) 。最後得到方程的解為 x=-2,5,pm sqrt{10} ,一共有2個有理數根，先C。

可以發現試根法是一種不錯的求解高次方程的方法，但是比較繁瑣，需要找到根才能用，如果方程沒有實根，那麼找根的難度就更大了。

下面分享兩道國際數學競賽中的高次求根，拋磚引玉。

2018-美國區域聯賽(ARML)-Team Round-14

Compute the sum of the real roots of f(x)=x^6+3x^4-2018x^3+3x^2+1 .

這是一個一元六次方程，問題是要找到所有實數根的和，如果是所有根的和，那麼直接用高次韋達定理就解決了，說明還是要把所有的根解出來的。第一道題採用整式合併的方法。

因為 f(x)=0 ,所以 2018 x^{3}=x^{6}+3 x^{4}+3 x^{2}+1=left(x^{2}+1 ight)^{3} 。

因為 x=0 不是方程的根，所以兩邊可以同時除 x^3 ,可得

2018=left(frac{x^{2}+1}{x} ight)^{3}=left(x+frac{1}{x} ight)^{3} 。根據對稱性可知，如果 x_0 是方程的一個根，那麼 frac{1}{x_0} 也是方程的一個根，所以兩個實數根的和為： oxed{left(x+frac{1}{x} ight)=sqrt[3]{2018}} 。

這道題雖然是一元六次方程但是發現可以通過完全立方公式化簡合併，當然這需要對公式有較為深刻的認識。下面給出幾個常見的公式：

egin{array}{l}{(a pm b)^{3}=a^{3} pm 3 a^{2} b+3 a b^{2} pm b^{3}}\{x^{3}-a^{3}=(x-a)left(x^{2}+a x+a^{2} ight)} \ {x^{3}+a^{3}=(x+a)left(x^{2}-a x+a^{2} ight)} \ {x^{n}-a^{n}=(x-a)left(x^{n-1}+x^{n-2} a+x^{n-3} a^{2}+cdots+a^{n-1} ight)} \ {x^{n}+a^{n}=(x+a)left(x^{n-1}-x^{n-2} a+x^{n-3} a^{2}-cdots+a^{n-1} ight)， ext{for odd values of n}}end{array}

接下去再給出一道題

2016-杜克數學大會(DMM)-Individual Round-9

Find the root with the largest real part to x^{4}-3 x^{3}+3 x+1=0 over the complex numbers.

根據代數基本定理一個四次方程應該有4個根，而現在要在復根中找到實部最大的，說明我們要算出這些根然後進行比較。第二道題採用整體代換的方法。

因為 x=0 不是方程的根，所以兩邊同除以 x^2 可得：

x^{2}-3 x+3 frac{1}{x}+frac{1}{x^{2}}=0 。令 t=x-frac{1}{x} ,則 x^2+frac{1}{x^2}=t^2+2 ,原式就變為： t^{2}-3 t+2=0 。這是一個一元二次方程，可用十字相乘法得到 t_1=1, t_2=2 。於是得到兩個方程： 2=x-frac{1}{x} 和 1=x-frac{1}{x} 。那麼，可以解得 x_{1,2}=frac{2pmsqrt{2}}{2}=1pmsqrt{2} , x_{3,4}=frac{1 pm sqrt{5}}{2} 發現都是實數根，所以最大的根為： oxed{x=1+sqrt{2}} 。

這裡採用整體代換的方法把一個一元四次方程轉化成了一元二次方程，順利的求得了四個根，令 t=xpm frac{1}{x} 也是比較常見的代換技巧。一般的高次方程求解是比較困難的，不同的方程可能要採用不同的方法求解，不過試根法、整體代換等都是可以考慮。

一己拙見，歡迎交流指正~~

更多關於國際數學競賽知識，可參閱：

雙木止月Tong：國際數學競賽及課程?

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