高數常見坑點：等價無窮小

知乎高數板塊的熱門話題之一，為啥不能像下面這麼用等價無窮小：

$求lim_{x o0}(frac{e^x +xe^x}{e^x-1}-frac{1}{x})$

發現了，回想起老師教過等價無窮小，這玩意和等價！天吶嚕我真強，快快用上！

$原式=lim_{x o 0}(frac{e^x+xe^x}{x}-frac{1}{x})=lim_{x o0}frac{e^x+xe^x-1}{x}=lim_{x o0}(2e^x+xe^x)=2$

自信滿滿翻了翻答案，然後不小心發現答案啊是二分之三(⊙o⊙)？

兩個圖告訴你正確用法和錯誤用法差在哪裡。

錯誤的用法是認為

$equire{cancel} lim_{x o0}(frac{e^x +xe^x}{e^x-1}-frac{1}{x}) \=lim_{x o0}(frac{e^x +xe^x}{cancel{e^x-1}} imes frac{cancel{e^x-1}}{x}-frac{1}{x})$

正確的用法是應該

$equire{cancel} lim_{x o 0}(frac{e^x +xe^x}{e^x-1}-frac{1}{x}) \ =lim_{x o0}(frac{e^x +xe^x}{e^x-1}-frac{1}{x}) imes lim_{x o0}frac{e^x-1}{x} \ =lim_{x o0}left( (frac{e^x +xe^x}{e^x-1}-frac{1}{x}) imes frac{e^x-1}{x} ight) \ =lim_{x o0}left( (frac{e^x +xe^x}{cancel{e^x-1}} imes frac{cancel{e^x-1}}{x}-frac{1}{x} imes frac{e^x-1}{x} ight)$

所以等價無窮小的唯一正確用法是把整個式子乘上一個極限為1的式子，然後利用極限的乘法等於乘法的極限。

等價無窮小這名字起的極其有誤導性。等價無窮小，等價無窮小，物理老師教過我們等價就可以替換嘛。可以替換的無窮小，憑啥就有時候能替換有時候不能替換呢？

因為等價無窮小的本質，是在原式上乘了個1。

舉例。比如：

$equire{cancel} lim_{x o 0}frac{sin 2x}{e^x - 1}\=(lim_{x o 0}frac{sin 2x}{e^x-1}) imes 1 \= (lim_{x o 0}frac{sin 2x}{e^x-1}) imes (lim_{x o 0} frac{e^x-1}{x})\ =lim_{x o 0}(frac{sin 2x}{cancel{e^x-1}} imes frac{cancel{e^x-1}}{x})\ =lim_{x o 0}frac{sin 2x}{x}\=2$

這就是正確使用等價無窮小的延長版。

那為啥我像最上面那樣用了就錯了？

照上面那個正確使用等價無窮小的延長版畫個瓢：

$equire{cancel} lim_{x o0}(frac{e^x +xe^x}{e^x-1}-frac{1}{x}) \ =lim_{x o0}(frac{e^x +xe^x}{e^x-1}-frac{1}{x}) imes 1 \ =lim_{x o0}(frac{e^x +xe^x}{e^x-1}-frac{1}{x}) imes lim_{x o0}frac{e^x-1}{x} \ =lim_{x o0}left( (frac{e^x +xe^x}{e^x-1}-frac{1}{x}) imes frac{e^x-1}{x} ight)$

誒咋是兩項乘一項啊，沒關係，苯寶寶會乘法分配律

$lim_{x o0}left( (frac{e^x +xe^x}{e^x-1}-frac{1}{x}) imes frac{e^x-1}{x} ight) \ =lim_{x o0}left( (frac{e^x +xe^x}{cancel{e^x-1}} imes frac{cancel{e^x-1}}{x}-frac{1}{x} imes frac{e^x-1}{x} ight)\ =lim_{x o 0}(frac{e^x+xe^x}{x}-frac{e^x-1}{x^2})$

喵喵喵?

以為是這樣

$equire{cancel} lim_{x o0}(frac{e^x +xe^x}{e^x-1}-frac{1}{x}) \=lim_{x o0}(frac{e^x +xe^x}{cancel{e^x-1}} imes frac{cancel{e^x-1}}{x}-frac{1}{x})$

結果是這樣

$equire{cancel} lim_{x o 0}(frac{e^x +xe^x}{e^x-1}-frac{1}{x}) \ =lim_{x o0}left( (frac{e^x +xe^x}{cancel{e^x-1}} imes frac{cancel{e^x-1}}{x}-frac{1}{x} imes frac{e^x-1}{x} ight)$

所以等價無窮小的唯一正確用法是把整個式子乘上一個極限為1的式子，然後利用極限的乘法等於乘法的極限。

那為啥不能利用減法的極限等於極限的減法，然後再乘極限為1的式子呢？

所以是想說這麼幹？

$equire{cancel} lim_{x o 0}(frac{e^x +xe^x}{e^x-1}-frac{1}{x}) \ =lim_{x o 0}frac{e^x +xe^x}{e^x-1} - lim_{x o 0}frac{1}{x} \ =lim_{x o 0}frac{e^x +xe^x}{e^x-1} imes lim_{x o 0}frac{e^x-1}{x}-lim_{x o 0}frac{1}{x} \ =lim_{x o 0}left(frac{e^x +xe^x}{cancel{e^x-1}} imes frac{cancel{e^x-1}}{x} ight)-lim_{x o 0}frac{1}{x} \ =lim_{x o 0}(frac{e^x +xe^x}{x}-frac{1}{x})$