本文部分素材来自Rick Hill的网路教程System Dynamics and Control第10和第11节，请支持原作者。

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一阶系统的基本性质

一阶系统的标准形式（canonical form）：

audot{y}(t)+{y}(t)=ku(t)

一阶系统的传递函数 TF：

G(s)=frac{Y(s)}{U(s)}=frac{k}{ au s+1}

omega_n = 自然频率（undamped natural frequency）

关键参数：

au = 时间常数

k = 增益

一阶系统的阶跃响应（时域分析）

对于传递函数为

G(s)=frac{Y(s)}{U(s)}=frac{k}{ au s+1}

的一阶系统，当输入型号为阶跃函数

U(s)=L[1(t)]=frac{1}{s}

时，

egin{split} Y(s)&=G(s)U(s)\ &=frac{k}{ au s+1}cdotfrac{1}{s}\ &=frac{k}{s}-frac{k au}{ au s+1}\ end{split}

其时域表达式为

y(t)=k-ke^{-t/ au}=k(1-e^{-t/ au}),tgeq0

k 是系统稳定后的输出值，因此也叫直流增益。

au 对应输出上升至 0.632k 对应的时间。

4 au 对应输出上升至 0.98k 对应的时间，一般认为输出波动在2%以内进入稳态。

通过观察一阶系统输出信号的 k 和 au ，可以重构系统函数（black box modeling）。

二阶系统的基本性质

二阶系统的标准形式（canonical form）：

ddot{y}(t)+2zetaomega_ndot{y}(t)+{omega_n}^2y(t)={omega_n}^2u(t)

二阶系统的传递函数 TF：

G(s)=frac{Y(s)}{U(s)}=frac{{omega_n}^2}{s^2+2zetaomega_ns+{omega_n}^2}

关键参数：

omega_n = 自然频率（undamped natural frequency）

zeta = damping ratio

极点是使传递函数趋于无穷的s，根据

s^2+2zetaomega s+{omega_n}^2=0

可得

极点= -zetaomega_npmomega_nsqrt{zeta^2-1}

zeta<-1 ，极点为右半平面一对不相等实数（无震荡发散）

zeta=-1 ，极点为右半平面一对相等实数（发散，无震荡临界情况）

-1<zeta<0 ，极点为右半平面一对复数（震荡发散）

zeta=0 ，极点为虚轴上一对大小相等符号相反的虚数（无衰减震荡）

0<zeta<1 ，极点为左半平面一对复数（欠阻尼衰减）

zeta=1 ，极点为左半平面一对相等实数（衰减，临界阻尼）

zeta>1，极点为左半平面一对不相等实数（过阻尼衰减）

damping ratio与极点分布

二阶系统极点包含实部与虚部两部分，

sigma = 实部，阻尼 （damping）

omega_d = 虚部，衰减后的震荡频率（damped natural frequency）

二阶系统稳定（无论是渐近稳定或是BIBO稳定）的前提是极点都位于负（左）半平面。

对于极点分布在左半平面的情况（ 0<zeta<1 ），

sigma=-zetaomega_n

omega_d=omega_nsqrt{1-zeta^2}

sigma 为负数，从而确定极点分布在左半平面。

另外，自然频率 omega_n ，实际衰减频率 omega_d 以及阻尼 sigma 满足直角三角形关系：

omega_n=sqrt{omega_d^2+sigma^2}

另外有 coseta=zeta ，eta 角也可以用来衡量阻尼大小。当 eta 角为0度时，极点在负实轴上，过阻尼收敛。当 eta 为90度时，极点在虚轴上，无阻尼震荡。

二阶系统的欠阻尼阶跃响应（时域分析）

对于传递函数为

G(s)=frac{Y(s)}{U(s)}=frac{{omega_n}^2}{s^2+2zetaomega s+{omega_n}^2}

的二阶系统，当输入型号为阶跃函数

U(s)=L[1(t)]=frac{1}{s}

时。

egin{split} Y(s)&=G(s)cdot U(s)\ &=frac{{omega_n}^2}{s^2+2zetaomega s+{omega_n}^2}cdotfrac{1}{s}\ &=frac{{omega_n}^2}{(s+sigma)^2+{omega_d}^2}cdotfrac{1}{s}\&=frac{1}{s}-frac{s+sigma}{(s+sigma)^2+{omega_d}^2}-frac{sigma}{omega_d}frac{omega_d}{(s+sigma)^2+{omega_d}^2} end{split}

其时域表达式为

egin{split} y(t)&=1-e^{-sigma t}cosomega_dt-frac{sigma}{omega_d}e^{-sigma t}sinomega_dt\ &=1-e^{-sigma t}(cosomega_dt+frac{sigma}{omega_d}sinomega_dt),tgeq0 end{split}

定义：

2%稳定时间 t_s 仅与实部 sigma 有关。

峰值时间 t_p 仅与虚部 omega_d 有关。

超调量 M_p仅与damping ratio zeta 有关。另外，超调量 M_p 也可以写作 M_p=e^{-sigmafrac{pi}{omega_d}}。

由此可见极点位置对于波形的影响，同样的，根据 t_p， t_p 和 M_p 也可以反推sigma 和 omega_d位置。

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