還是和實分析一樣作隨記寫吧。

很多的拓撲教材都會在一上來就直接給出拓撲空間的定義，然後又光速進入其性質和定理的討論中，導致部分同學（此處特指我~）對於這個概念頗有些一臉懵逼。

我是直到之前在b站上看到梁燦彬的網課才稍微理解了它的一個motivation是啥，這裡我就再當一次復讀機吧，希望對大家理解這個概念提供些幫助，當然也誠心歡迎共同討論哈。

我們知道，對於任意兩個集合之間的一個映射來說，我們能從什麼方面刻畫它呢？

（這就好比我們能從什麼角度來刻畫一個人：長得美還是丑？高還是矮？是否有車有房？之類）

然而我們目前能問的或許只有一個問題：他是單射還是滿射，還是neither？這未免有些太過憋屈了，對於映射這麼重要的概念，難道我們只能從一個角度來刻畫他嗎？作為映射一種特殊情況的實函數，它可是能問是否連續，是否單調，是否可導，光滑……我們自然想把這些性質儘可能得推廣到一般映射上去。注意，這句話很重要，因為它將成為我們後面的一大探究主線。當然了，柿子挑軟的捏，我們還是需要從相對簡單的方面入手。上面哪個最簡單？自然是連續性。嗯……如果能在任意映射上定義連續的概念就好了。

或許真的可以？

我們來試試吧！要推廣一個概念，就要先明白原先的狹義概念是什麼，並找到與推廣範圍內的可推廣點（我也不知道怎麼描述了emmm，你可以想想實函數是怎麼推廣出複函數的），由此我們先給出實函數連續的概念：Def：若 lim_{x ightarrow x_0}f(x)=f(x_0) ，那麼我們就稱函數 f(x) 在 x_0 處連續（continious）。為了找到它的本質，我們把這個定義寫成更低一層次的形式。Def：若 forallvarepsilon>0,existsdelta>0,s.t.0<|x-x_0|<delta 時， |f(x)-f(x_0)|<varepsilon ，那麼我們就稱函數 f(x) 在 x_0 處連續（continious）。它還可以寫成這樣：Def：若 forallvarepsilon>0,existsdelta>0,s.t.xin mathring{N}(x_0,delta) 時， f(x)in N(f(x_0),varepsilon) ，那麼我們就稱函數 f(x) 在 x_0 處連續（continious）。Remark：這裡的 mathring{N}(x_0,delta),N(f(x_0),varepsilon) 分別表示去心鄰域和鄰域。是否可以這樣想， f(x_0) 的任一去心鄰域的逆像（preimage）包含（contain） x_0 的一個鄰域。（這句話很重要，你可以想一想）

也就是說，我們只要把鄰域的概念推廣出去，就能達到推廣連續性定義的目的了。

然而我們不是直接在任意集合上推廣鄰域的定義，而是先從側面包抄，即從另一種角度——開集 推廣鄰域。（還有一種思路確實是從鄰域出發，由於鄰域是建立在距離這個概念上的，於是就簡單地推廣了距離的概念，這就是所謂的度量空間，但是我們之後引入的拓撲空間要比他更廣泛）我們要對任意集合定義什麼是開集，只需要指出所有開集組成的那個集合（即拓撲）是什麼就行了。

由此我們給出拓撲的定義。（正文開始）

Def：對於非空集合 X ，若 X 的一個子集族 au 滿足：

a. X,varnothingin au ；

b.有限交封閉：任取 au 中有限個集合 O_1,O_2,cdots,O_n,cap_{i=1}^nO_iin au ；

c.任意並封閉（包括無限並）：任取 au 中任意多個集合 left{O_lambda|lambdainLambda ight},cup_{lambdainLambda}O_lambdain au 。

那麼我們就稱集族 au 為集合 X 上的一個拓撲（Topology）。

Remark：

a.首先你要知道一個集合上是有很多個拓撲的，甚至有可能是無數個。b.之所以要求 X 非空，一方面是因為空集的情況本身很trivial，另一方面空集的加入會帶來很多不必要的麻煩，這也是很多其他概念（比如群，環，域）也會避免空集的原因。

我們來舉幾個例子吧！

Example：

首先對於任意非空集合 X ，他一定有如下兩個拓撲

a.平凡拓撲： au_1=left{X,varnothing ight} ；

b.離散拓撲： au_2=2^X ；（這裡 2^X 表示集合 X 的冪集 power set）。

再對我們最熟悉的集合—— mathbb R 舉幾個例子

a.度量拓撲（取Euclidean空間的度量）

b.余有限拓撲

c.余可列拓撲

Def：一個非空集合 X 上如果指定了一個拓撲 au ，我們就稱有序對 (X, au) 為一個拓撲空間（Topology Space）。

Def：在拓撲空間 (X, au) 中，若 Ain au ，我們就稱集合 A 是該拓撲空間中的一個開集（Open Set），若 A^cin au ，就稱集合 A 是該拓撲空間中的一個閉集（Closed Set）。

Remark：

a.開（閉）集是相對拓撲空間而言的，在這個拓撲空間里它是開（閉）集，可能它在另一個拓撲空間中就不是開（閉）集了，最簡單的例子就是 X 的任一子集在其對應的離散拓撲下都是開集，而除了 X 本身與 varnothing 外其任意子集在對應的平凡拓撲下都不是開集。b.還有一點比較有意思，是看到學長 @smiledaniel 的一個回答才明白的，就是從閉集的定義我們其實可以看出所謂的開集和閉集只是對同一拓撲空間的不同描述，以為一個空間，你只要定義了什麼是閉集（就是全部閉集組成的集族是啥），自然也就定義了什麼叫開集。

本篇的討論就到這裡吧。


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