誰能告訴我一個正電荷以任意速度射入點電荷電場後的運動軌跡是怎樣的啊？
完全不會做，如果按照我的分析的話x和
y方向上的加速度都是和x和y有關的量，那樣的話要解一般解就需要解很複雜的微分方程，那我還不如去死好了。
其實還是要考慮相對論對電子質量的影響以及電子自旋的。
先佔個坑，有時間了來推導下……
第一位回答者說的很完美。另外建議看看朗道力學裡的第四章，裡面對質點散射，盧瑟福公式有非常詳細的討論。區別是朗道用的是力場，這樣不僅僅侷限於電荷類型。
補充：第三章運動方程的積分也很有幫助，對計算軌道有很大意義。
會列微分方程，卻不知道盧瑟福散射公式，是大一的吧。原子物理的盧瑟福散射了解一下？或者理論力學Binet公式瞭解一下？化成極坐標、方法合適的話，計算起來並不困難。
補充：至於Rutherford散射的物理圖像和物理意義與此題相差甚遠，可以借鑒，但是這種處理方法絕不是為了單純解決粒子運動軌跡的問題的而存在。
完全依靠數學來思考所有物理問題是難以想像的，當你遇到一個問題的時候不一定非得得到完美的數學形式，而是要想我能知道什麼。
我們不妨這樣來思考這個問題：
- 電磁力為吸引力時
- 考察受力的特點，於是可以看出是有心力，於是角動量守恆。
- 觀察整個體系的初始情況，發現兩個點的連線與動量以及加速度在同一平面內，從而知道整個運動在二維平面，於是可以將三維問題簡化為二維問題。
- 考慮運動過程，不難發現保持角動量守恆就必須有這樣一個點，該點距離場電荷最近（記為A），且該處的速度方向必定垂直於那一刻運動電荷和場電荷的連線。如果該點的運動剛好滿足圓周運動，那麼這實際上就是圓周運動而已。如果不滿足圓周運動，我們還能知道什麼呢？首先，我覺得任何一個有點直覺的人都會覺得這個點和場心的連線是整個運動的對稱軸。為什麼呢？不妨想想另一個球2在A點，與球1的質量相同，速度大小相同方向相反。很顯然它們的初始條件完全是堆成的，所以之後的運動中球1和球2的運動軌跡也完全是對稱的。如果我們將球2的運動軌跡中每一點的速度反向，並和球1的軌跡合併，我們就可以得到一個角動量大小不變而且位置連續變化，速度連續變化，加速度也連續變化的軌跡。顯然這種運動軌跡是完全存在和合理的。所以整個運動必然是一個存在對稱軸的軌跡，對稱軸與軌跡的交點就是最近場心的點。
- 現在我們來考慮一些特殊情況。如果速度很小，小到0，那麼顯然就是一個來來回回的一維振動嘛。速度大小為0的時候我們可以規定出發點速度方向垂直於電荷和場心連線，這個時候運動軌跡是直線。此時我們稍微加大一點點速度，這個軌跡應該不會偏離原來的直線太遠，考慮到v=0時是一個振動，且根據上一個3的推理，整個運動必須關於出發點和場心連線堆成，所以v稍微大於0時也必然是一個振動。考慮到對稱性，以及不斷增大運動速度總會有一刻變成圓周運動這兩點，可以猜到這種小速度的運動情況很可能就是橢圓。
- 有了速度為0是直線，大一點是橢圓，再大會遇到圓，再大又是橢圓（遠心點變近心點）
- 如果速度再大一點，超級大呢？那就是機械能大於0，那就是我到了無窮遠處，已經不受力了，但我有向前的速度，所以一去不回（不再是週期性運動）。這個時候我可能會想，軌跡應該只能是橢圓和圓的兄弟們拋物線和雙曲線了吧。再隨便猜猜就能知道機械能為0是拋物線，大於0是雙曲線。
- 電磁力為排斥力時有了上面的經驗你應該知道猜測是什麼軌跡了吧。（不要跟我說是圓）
- 有了想法，可以數學驗證了。
當然，雖然我們不能把物理學成了數學，但是數學當然也很重要，千萬不要像答主的數學一樣爛。
話有點難聽。
我覺得如果你是一個高中的物競生，那我覺得你有點重數學輕物理。一般有列微分方程的數學水平應該要懂物理上的天體運動。
點電荷形成的是有心力場，既然是有心力場，那你應該選擇用天體物理的知識。
另外，我點個細節：表示矢量可以用方向向量，但是呢，方向向量表示有兩種，一種是和數學上的向量表示方法一致，另一種是上方加一個指向上的符號^。你一次使用兩種方法表示一個向量怕是有點偏頗了。
另外，我建議你打草稿的時候，排版設計的時候更加註意一點，一列列對的齊一點，這種細節在考試的時候往往會起比較大的作用。當然了，你的字跡只要清晰即可，不需要很好。
如果你是初涉大學物理的大學生，我覺得這樣挺正常。大學一開始接觸微積分，往往微積分學得多了，物理的水平還沒有跟上去。這倒是無妨。
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