令

A=1+2^{a_{1}}3^{a_{2}}5^{a_{3}}7^{a_{4}}11^{a_{5}}13^{a_{6}}......p_{n-1}^{a_{n-1}}p_{n}^{a_{n}}=1+prod_{i=1}^{n} p_{i}^{a_{i}}，

其中a_{1}到a_{n}為正整數，p_{i}為素數,n為素數個數。

R為一個大數（遠大於n），設小於R的素數一共S個,設小於R的A一共m個，再設這m個數中有q個素數，

那麼：

frac{S}{R}approxfrac{q}{m}prod_{i=1}^{n}(1-frac{1}{p_{i}}) ，

上式也可寫成： frac{q}{m}approxfrac{S}{R}prod_{i=1}^{n}frac{1}{1-frac{1}{p_{i}}} ,說明由A產生的數的素數密度比自然數序列中素數密度大，兩者約 prod_{i=1}^{n}frac{1}{1-frac{1}{p_{i}}} 倍的關係。

結合素數定理得： frac{q}{m}approxfrac{1}{ln(R)}prod_{i=1}^{n}frac{1}{1-frac{1}{p_{i}}}

當n趨向正無窮大時， frac{q}{m}approxfrac{1}{ln(R)}sum_{i=1}^{+infty}frac{1}{i}>frac{1}{ln(R)}sum_{i=1}^{R}frac{1}{i}

又自然數倒數之和的近似式子為： sum_{i=1}^{R}frac{1}{i}approxln(R)+C,其中Capprox0.57722

所以當n趨向正無窮大時，frac{q}{m} 趨向於 1，也即由A產生的數中素數比例（即A中的素數密度）趨向於1。

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