前言

在前面的幾何光學的介紹中已經提及過球差和像面彎曲等光學系統的缺陷，這些都是像差(aberration)的一部分，只是在計算時做了近似，忽略了缺陷.但實際光學系統與前面所說的理想光學系統的差異是不可忽略的，因此在做光學系統的設計時必須要考慮這些，想辦法修正.

本文將系統地介紹各種像差及影響它們大小的因素.

1.概述

對於像差的描述主要有兩套方法，其一是從幾何光學的角度，根據光線到達像面時的缺陷情況進行分析，在這種意義下討論的像差是幾何像差.這將是本文主要介紹的

而波像差則直接考察實際波面與理想的球面波的差異.

在幾何像差中，若只考慮單色光成像，則會出現五種不同的單色像差：

  1. 球差是軸上物點發出不同孔徑角的光線在像方截距不同導致的，這種缺陷在孔徑角較大時，即寬光束的情況下比較明顯，因此歸類為寬光束像差.
  2. 彗差是軸外物點發出對稱於主光線的一束光在像方失去對稱性而導致的，它顯然也是寬光束像差，它同時受到孔徑和視場的影響.
  3. 像散是軸外物點發出的一束光當中，子午光線和弧矢光線在像方會聚的點不一致導致的.這種缺陷在細光束就已經很明顯，只是在細光束時的主要成因是視場；而寬光束時要同時考慮視場和孔徑的影響.但通常所說的像散是指細光束像散.
  4. 場曲其實就是像面彎曲（像場彎曲），是軸外點的像差.在幾何光學基礎部分已經提到過，即使是平面物體，其像面也不是平面.顯然這在細光束時已不可忽略，細光束的場曲主要成因在於視場，與孔徑無關；寬光束時則不同，且比較複雜，本文不做介紹.通常所說的場曲也是指細光束場曲.
  5. 畸變是主光線的問題，在實際光學系統中，同一位置的垂軸放大率並不是常數，是和視場有關的，這種缺陷不影響像的清晰性，但會使像變形，它也是軸外點的像差，其嚴重程度僅受視場大小的影響.

而對於發出各種色光的物點成像，由於不同色光的折射率不同，在想面上也會有缺陷，這就是色差，它主要有兩種：

  1. 位置色差是軸上物點發出的不同色光的像的沿軸位置不同導致的，其彌散斑會是彩色的圓形彌散斑.
  2. 倍率色差則是軸外物點發出的不同色光的像的放大率不同導致的，其彌散斑也是彩色的，但不是圓形.

幾何像差egin{cases}單色像差：&球差，彗差，像散，場曲，畸變\[2ex]色差：&位置色差，倍率色差end{cases}

2. 球差(spherical aberration)

在幾何光學部分中，對單個折射球面的軸上點物像關係的標準計算中，有公式 L』=rleft(1+frac{sin I』}{sin U』} ight).

其中 L』 是像方截距， r 是球面半徑， I』 是所考察光線的折射角， U』 是所考察光線的像方孔徑角.而實際上 I』 與 U』 一一對應，因此像方截距可以看成是 U』 的函數，即球面口徑的函數.由於細光束(指 U』 很小的情況)的情況下球差很小，只有在寬光束時才很明顯，因此是寬光束像差.

對於定量研究，當然就是看所做的近似和實際情況的差異，考慮之前所說的，標準的量用大寫字母表示，近似的量用小寫字母表示，對於球差的具體描述，如下圖所示.

圖1

在定量研究的時候，球差用 delta L』 來表示，定義為 delta L』=L』-l』 ，如上圖所示.

這樣，實際像點並不在高斯像面(理想情況下的像面)上，那麼物點在高斯像面上是一個圓形彌散斑，其半徑用 delta T』 表示，這也是衡量球差的一種方法，稱為垂軸球差.根據幾何關係可以發現，垂軸球差與球差的關係是 delta T』=delta L』 an U』 .

對於球差的具體計算，既可以依照孔徑角U，也可以依照入射高度h，其實和前面說的基於像方孔徑角 U』 ，折射角 I』 表示並沒有本質區別，這裡這樣做是為了探究物方屬性對球差的影響.

現在的問題是，難以將 delta L』(U) 或 delta L』(h) 寫成顯函數的解析式，但可以將它們展開成冪級數.注意到無論對於孔徑角還是投射高度，其正負（其實就是對稱與光軸的兩個方向）是不影響球差正負的，因此在展開的時候是不存在奇次項的，因此有

egin{cases}delta L』=A_1h^2+A_2h^4+A_3h^6+cdots\[2ex] delta L』=a_1U^2+a_2U^4+a_3U^6+cdotsend{cases}

其中第一項稱為初級球差，第二項稱為二級球差，以此類推，其中的係數（ A 或 a ）根據其下標稱為各級球差係數.

當然，上述的冪級數形式只能幫助定性判斷球差的大小，並沒有直接給出球差係數，而對於球差的定義式 delta L』=L』-l』 也只能計算某一孔徑帶上的球差值，而對於實際的光學系統，應該充分了解每個表面對球差的貢獻的，這樣才能在光學設計時更好的控制和校正球差.下面從最一般的情況觸發，分析某一面的球差.如下圖所示.

圖2

假設對於圖示的表面，其物方已經有球差 delta L ，經過這個面後的球差為 delta L』 ，經推導可得到 n』u』sin U』delta L』-nusin Udelta L=-(L』sin U』-Lsin U)ni.

推導過程可參考《應用光學》-張以謨.

令 S_-=2(L』sin U』-Lsin U)ni ，稱為該面的初級球差分佈係數，則有 delta L』=frac{nusin U}{n』u』sin U』}delta L-frac{1}{2n』u』sin U』}S_-

對於 S_- ，還可改寫為 S_-=frac{niLsin U(sin I-sin I』)(sin I』-sin U)}{coscfrac{I-U}{2}coscfrac{I』+U}{2}coscfrac{I+I』}{2}}.

這種形式可以更清楚完善地瞭解各項對球差的實際影響.對於單個折射球面，對實物成像，即 delta L=0 的情況，根據上式可以判斷出 delta L』=0 ，即不產生球差的三種情況：

  1. L=0 ，即物位於球面頂點上，這時 L』=0 ，也在球面頂點，此時無論 U 多大都沒有球差.
  2. sin I-sin I』=0 ，這意味著 I=I』=0 ，即 L=r ，物點位於球心，這時該物點發出的所有的光都相當於正入射，其像也在球心，即 L』=r ，這是的垂軸放大率 eta=frac{n}{n』}.
  3. sin I』-sin U=0 ，意味著 I』=U ，這時 L=frac{r(n+n』)}{n} ， L』=frac{r(n+n』)}{n』} ，且垂軸放大率 eta=left(frac{n}{n』} ight)^2 .說明物像都位於球心所在的一側，且都在球心以外，顯然物像虛實相反.此時還有 frac{sin U』}{sin U}=frac{sin I}{sin I』}=frac{n』}{n}=frac{L}{L』} ，這說明在這個位置上，共軛點的物像孔徑角之比，物距像距之比是常數，無論 U 多大都不產生球差.

對於上述的第三種情況，不僅對軸上那個位置物點的任意寬光束成完善像，而且在其垂軸平面上較近的點也能對任一寬的光束成完善像.這一對共軛點稱為不暈點或齊明點(aplanatic points).（這不是定義，在彗差部分會介紹齊明點的確切定義）

進一步地，對於具有 k 個面組成的光學系統，直接給出球差分佈公式. delta L』=-frac{1}{2n_k』u_k』sin U_k』}sum S_- ，這裡的 sum S_- 是指各面的球差分佈係數相加.

下面專門來說初級球差.對初級球差的研究只對光軸附近的區域有意義，這個區域很小，因此這個正弦值可以用弧度制代替，故上式可改寫為 egin{cases}delta L』_初=-cfrac{1}{2n_k』u_k』^2}sum S_Ⅰ\[2ex]S_Ⅰ=luni(i-i』)(i』-u)end{cases} 這種形式表示的僅是初級球差，而 sum S_Ⅰ 是指各面的初級球差的和.

值得一提的是，若以彌散斑衡量球差，除了之前所述的垂軸球差（彌散斑半徑），還有一種說法就是橫向球差（彌散斑直徑），對於初級橫向球差，通過公式可看出它正比於孔徑的三次方.區別於初級球差正比於孔徑的平方.

  • 球差的校正

這裡討論透鏡的球差，還記得在介紹平面系統部分提到過光楔，光楔的偏向角 delta=(n-1) heta ，其中 heta 是光楔的楔角.實際上，透鏡可看作是由無數個不同楔角的光楔拼接而成的，顯然越靠近邊緣的楔角越大.

由此可見，對於單個的正透鏡，越邊緣的光線偏向角越大，這說明邊緣光線的像距比近軸光線的像距小.因此單個正透鏡產生負球差，同理單個負透鏡產生正球差.

上述結論說明，在共軸球面系統中，對於單個透鏡，它本身是無法校正球差的，而正負透鏡的組合則可能通過相互補償校正球差.

在實際設計光學系統時，常通過初級球差與高級球差相互補償而抵消的手段，將邊緣帶的球差校正為零.

設想僅含初級和二級球差的光學系統，其球差為 delta L』=A_1h^2+A_2h^4 .設其邊緣高度為 h_m ，那麼為使 delta L』=0 ，則 A_1,A_2 應滿足 A_1=-A_2h_m^2 .這時球差的極值點 h=frac{1}{sqrt 2}h_m 處，一般近似認為在 h=0.707h_m 處，就說這裡有最大剩餘球差.

簡單說，就是通過校正了邊緣球差後，整個透鏡上的球差的最大值在 0.707h_m 這個位置.如下圖所示.

圖3

最後要說的是一種特殊的透鏡——齊明透鏡，它是利用齊明點的特性製作的.如下圖所示.

圖4

回顧前面所說的無球差點的三種情況.物點 A_1 位於第一個曲面的曲率中心，即滿足無球差點的第2種情況，並同時對於第二個曲面滿足無球差地按的第3種情況.

可通過計算得到，對於該點的垂軸放大率 eta=n .

還能得到 sin U_3=frac{sin U_1}{eta}=frac{sin U_1}{n}.

這說明，通過這種方法可以在不產生球差的情況下增加物點的孔徑角.例如 n=1.5 ，則孔徑角增大 1.5 倍.齊明透鏡常用於顯微物鏡或照明系統中.

3. 彗差(coma)

這裡首先介紹即將要用到的，也是應用光學中常用的一對概念：子午面(meridian plane)和弧矢面(sagittal surface).

  • 子午面是指由軸外物點和光軸所確定的平面.子午光線(meridian ray)指在子午面內的光線.
  • 弧矢面是指包含上述物點主光線並與子午面垂直的面.弧矢光線(sagittal ray)指在弧矢面內的光線.

當然這個軸外物點是任取的，故二者的存在是依賴於某一軸外點的，並不是依賴於光學系統的.定義它們的動機主要是為了研究光學系統在一對相垂直的方向上的差異，二者是要配合使用的.這纔是根本.

下面進入主題.

這部分主要講的是對於軸外物點成像時，口徑內其他光束失去對主光線的對稱性導致的缺陷，如下圖所示.

圖5

在對彗差進行描述的時候，一般在子午面和弧矢面上分別考慮，即子午彗差 K_t』 和弧矢彗差 K_s』 .

首先考慮像差性質比較簡單的近軸物點.當光學系統對軸上點成完善像時，使垂軸方向上與之無限靠近點物點也能成完善像的條件稱為正弦條件(sine condition).根據費馬原理可以推得正弦條件為 nysin U=n』y』sin U』 .

推導過程可參考《幾何光學·像差·光學設計》-李曉彤,岑兆豐.

意思是說，當光學系統滿足上述正弦條件時，若軸上點成完善像，則近軸物點也成完善像，即這個小區間內既不存在球差，整個光束又關於主光線對稱，這種情況稱為不暈成像.

特別地，當物點位於無限遠時，正弦條件化為 f』=frac{h}{sin U』}.

  • 而如果不滿足正弦條件，那麼其他光束對於主光線的對稱性就出現了一些問題，為了描述這個問題還要結合球差來進行說明.

上述討論的是軸上點和近軸點的完善像，但通過前面對球差的討論可以知道，即使是軸上點，也不能完善成像的，同理，近軸的軸外點也有類似於球差的現象存在，也不能成完善像.

但是，如果非完善像的彌散斑很小，依然可以認為像質滿足要求.在這種情況下，如果近軸的軸外點和軸上點的光束結構相同，其彌散斑與軸上點也是一樣的，二者有相同的成像缺陷，這種情況叫做等暈成像(aplanatic image formation).

這時應該滿足的條件叫做等暈條件(aplanatic condition).這是指 frac{1}{eta}frac{n}{n』}frac{sin U}{sin U』}-1=frac{delta L』}{L』-l_z』} ，其中 l_z』 是出瞳距，是指出瞳到整個光學系統最後一個面的頂點的距離， eta 是近軸區的垂軸放大率.

推導過程可參考《應用光學》-張以謨.

特別地，若物點位於無窮遠，則等暈條件化為 frac{h_1}{f』 an U』}-1=frac{delta L』}{L』-l_z』}.

而如果不滿足等暈條件，顯然前式等號兩端不想等，其差值定義為正弦差(off sine condition)，記作 OSC』 ，即 OSC』=frac{1}{eta}frac{n}{n』}frac{sin U}{sin U』}-frac{delta L』}{L』-l_z』}-1. 同樣地，若物點位於無窮遠，則正弦差為 OSC』=frac{h_1}{f』 an U』}-frac{delta L』}{L』-l_z』}-1.

  • 出現正弦差就說明軸外點和軸上點成像有了區別，這個區別就來自於其他光線相對主光線的不對稱性.

下面考察正弦條件和等暈條件的關係.

在滿足等暈條件的情況下，即 OSC』=0 時，球差可能存在也可能不存在 delta L』 ，即既可以為零也可以不為零，若球差為零時，又有 nysin U=n』y』sin U』 ，這說明正弦條件是等暈條件的特殊情況，即忽略球差的情況.其實這一點在介紹等暈的定義時已經能看出端倪.

對於初級正弦差分散式，有 OSC』=frac{1}{2J}sum S_Ⅱ.

其中 J 是拉赫不變數.

S_Ⅱ=luni_z(i-i』)(i』-u)=S_Ⅰfrac{i_z}{i} ，它是各面的初級彗差分佈係數.其中的 i_z 是指主光線的入射角，它顯然和光闌位置有關.

通過初級正弦差分散式可得到不產生正弦差的4種條件：

  1. i_z=0 ，這時光闌位於球面曲率中心.
  2. l=0 ，這時物點位於球面頂點.
  3. i=i』 ，這時物點位於球面曲率中心.
  4. i』=u ，這時物點在 L=frac{(n』+n)r}{n} 處.

回顧前面說的不產生球差的條件，可以發現那三個位置同時也沒有正弦差，滿足了正弦條件.齊明點或不暈點的定義其實就是校正了球差並滿足正弦條件的共軛點.

  • 以上的討論是關於近軸的軸外點與軸上點在成像時是否會有差異，下面開始討論更一般的軸外點的情況以及本節的主題——彗差.

其實和近軸的軸外點一樣，只要光學系統不滿足等暈條件，軸外點就會產生彗差.彗差的確切定義如下圖所示.

圖6

上圖表示的是子午彗差.

AB 為垂軸物點，主要觀察軸外 B 點的子午彗差，其理想像面位置在 A_0』 處.

a,z,b 指的分別是上光線、主光線、下光線，其中上光線和下光線交於距理想像面前 x_t』 的 A』 點所在的垂軸面上的 B_t』 點，主光線交這個面於 B』 點.但在高斯像面上，上光線投射到 B_a』 點，高度為 y_a ，下光線投射到 B_b』 點，高度為 y_b ，主光線投射到 B_z』 點，高度為 y_z.

定義子午彗差為 K_t』=frac{(y_a』+y_b』)}{2}-y_z』 .

同理定義弧矢彗差，如下圖所示.

圖7

弧矢面與理想像面的交線顯然是等高的，這個高度 y_s』 與主光線的高度 y_z』 的差值即使弧矢彗差，即 K_s』=Y_s』-y_z』 .

注意：

弧矢面的定義中，所謂的包含主光線指的是在物方的包含主光線，在經過幾個折射面後，弧矢面依然由初始的弧矢光線對的後續追跡所確定(例如圖中的 d,c 兩條光線)，而不是再重新以主光線為基準找光線對.否則在理想像面上，包含主光線且垂直於子午面的平面與理想像面的交線與主光線與理想像面的焦點等高.這是容易產生歧義一點.

可見不同位置的光束交於不同的點，形成不同的彌散斑，如前圖所示，其中子午光線的焦點在彌散斑的最上方，而弧矢光線的焦點位於最下方，其餘點對應其它的焦點.孔徑越大則彌散斑越大，就這樣綜合起來形成了彗星狀的彌散斑，故稱彗差.

顯然，彗差是寬光束的像差，是孔徑和視場的函數，它與正弦差的區別主要在於所考察的軸外點的位置，正弦差要求軸外點緊鄰光軸，而彗差所研究的則是一般的軸外點.因此說，正弦差只是孔徑的函數，而不是視場的函數.

不難發現，彗差是孔徑的偶函數（孔徑改變符號時，彗差符號不變），但是是視場的奇函數，因此地將(子午)彗差展開成冪函數，應該是 K_s』=A_1yh^2+A_2yh^4+A_3y^3h^2+cdots.

其中第一項為初級彗差，第二項為孔徑二級彗差，第三項為視場二級彗差.

對於大孔徑且小視場的光學系統，其彗差主要由前兩項決定，而如果對於小孔徑大視場的光學系統，彗差主要由一三項決定.

下面看初級彗差彗差分散式.

對於初級子午彗差有 K_t』=-frac{3}{2n_k』u_k』}sum S_Ⅱ

對於初級弧矢彗差有 K_s=-frac{1}{2n_k』u_k』}sum S_Ⅱ

首先可以發現初級子午彗差是初級弧矢彗差的三倍，不止如此，實際上弧矢彗差總是比子午彗差小.

另外，對於不產生彗差的條件，在正弦差那裡已經討論過了，那時就是根據初級彗差分佈係數判斷的，這裡的情況一樣.

4. 像散(astigmatism)

像散本質上也是由光束不對稱性造成的，彗差所研究的是不對稱性相對於主光線的，而像散所說的是其他光線之間的，這在細光束的情況下就有所顯現.如下圖所示.

圖8

對於有像散的光學系統，使點光源以細光束成像，在像方用垂軸的屏幕去承接像，若使屏幕沿軸移動，則所成的像會隨像面的位置變化：

  • 位置1呈現橢圓形的像，其長軸垂直於子午面；
  • 位置2則是垂直於子午面的短線；
  • 位置3又成了長軸垂直於子午面的橢圓；
  • 位置4形成圓形光斑；
  • 位置5形成長軸在子午面內的橢圓；
  • 位置6則是子午面內的短線；
  • 位置7又變成長軸在子午面內的橢圓.

對於上述情況，稱短線 B_t』 為子午像，短線 B_s』 為弧矢像.那麼 B_s』B_t』 沿光軸的距離就是像散.記作 x_{ts}』 ，即 x_{ts}』=l_t』-l_s』 ，如下圖所示.

圖9

  • 對於細光束而言，像散只受視場大小的影響，且是視場的偶函數.而對於寬光束而言，像散和視場、孔徑都有關，顯然這時它也是視場的偶函數.

初級像散分散式為 x_{ts}』=-frac{1}{n_k』u_k』^2}sum S_{Ⅲ}

其中 S_Ⅲ=luni(i-i』)(i』-u)left(frac{i_z}{i} ight)^2=S_Ⅰleft(frac{i_z}{i} ight)^2. 是各面上的初級像散分佈係數.其中 i_z 是主光線的入射角.

由此可見，對於單個折射球面，在齊明點處和光闌（位於球心時）位置處也不存在像散.

5. 場曲(field curvature)

場曲就是像面彎曲，在前面幾何光學部分介紹單個折射球面時已經說過，這是折射球面的固有特性.

同樣地，場曲也分為子午場曲和弧矢場曲，其定義如下圖所示.

圖10

點B的子午光線對相交於 B_t』 ，弧矢光線對相較於 B_s』 ，理想像面的位置在 A』 處.

子午場曲定義為 x_t』=l_t』-l』 ，弧矢場曲定義為 x_s』=l_s』-l』 .

顯然場曲和像散的關係就是 x_{ts}』=x_t』-x_s』 .初級場曲的分散式如下.

初級子午場曲分散式為 x_t』=-frac{1}{2n_k』u_k』^2}sum(3S_Ⅲ+S_Ⅳ )

初級弧矢場曲分散式為 x_s』=-frac{1}{2n_k』u_k』^2}sum(S_Ⅲ+S_Ⅳ )

其中 S_Ⅳ=frac{J^2(n』-n)}{nn』r} ，是各面的初級場曲分佈係數，當中的 J 是該面的拉赫不變數.

這說明，場曲並不是由像散所引起，即使像散為零，場曲依然可以存在，即使中心視場調節到清晰，邊緣視場依然模糊.

特別地，當像散為零時，場曲用 x_p』 表示，稱為匹茲凡場曲(Petzval field curvature).

6. 畸變(distortion)

回顧之前說過的理想光學系統的垂軸放大率 eta ，當時是說在一對共軛面上 eta 是常數，但對於實際的光學系統，這一點只在視場較小的情況下才使用，對於較大的視場則 eta 不是常數，這樣就使物像失去了相似性，這種缺陷稱為畸變.

實際上，畸變是不影響像的清晰度的，只是會使像變形，可以看作是由主光線引起的問題.

設某一視場的實際主光線與理想像面的交點的高度為 y_z』 ，且其理想像高為 y』 ，則畸變定義為 delta y_z』=y_z』-y』 ，如下圖所示.

圖11

顯然畸變是受到光闌位置影響的，且對光闌位置變化十分敏感.對於上圖這種情況，畸變小於零，稱為負畸變，而如果光闌位於透鏡之後，則會產生正畸變.

對於正負畸變在像面上的現象如下圖所示.

圖12

實際上，在光學設計中，畸變通常用相對畸變 q』 來表示，即 q』=frac{delta y_z』}{y』} imes 100\%.

如果設實際垂軸放大率 areta=frac{y_z』}{y} ，則相對畸變還可寫成 q』=frac{areta-eta}{eta} imes 100\%.

不難發現，畸變是視場的奇函數，若展開成冪級數形式則只有奇次項，即 delta y_z』=A_1y^3+A_2y^5+cdots. 之所以沒有 y 的一次項，是因為一次項表示理想像高.

最後來說初級畸變分散式， delta y_z』=-frac{1}{2n_k』u_k』}sum S_Ⅴ .

其中 S_Ⅴ=l_zu_zni(i_z-i_z』)+J(u_z^2-u_z』^2) ，是各面的初級畸變分佈係數.當中的 l_z 是指入瞳到光學系統第一個面的距離， i_z』 是指主光線到該面的折射角， u_z 和 u_z』 分別指主光線對於這個面的物像方孔徑角.

還能發現 S_Ⅴ=(S_Ⅲ+S_Ⅳ )frac{i_z}{i}. 這說明，對於單個折射面，若孔徑光闌與球心重合，則不產生畸變.

通過分佈係數的兩部分還能發現影響畸變的兩個因素：光闌位置的正弦差和角倍率.

意思就是說，若要消除畸變，不但要滿足光闌位置的正弦條件 ny_zsin U_z=n』y_z』sin U_z』 ，還要滿足角倍率的正切條件 ny an U_z=n』y』 an U_z』 .

這說明，要消除畸變是很難的，因為正切條件和正弦條件是不能同時滿足的.

但一般來說，相對畸變 q』leqslant4\% 時，人眼就感覺不出像的變形.但對於用來測量的光學系統，畸變要求小到萬分之幾，不過一般的測量儀器的視場較小，並不難滿足.而對於航空測量的物鏡，視場角會有 120° ，畸變要求小到十萬分之幾，因此為了達到要求，鏡頭的結構極其複雜.

特別地，對於 eta=-1 的對稱光學系統，其光闌位於系統中間，其前部和後部光學系統的畸變大小相等方向相反，畸變就自動校正了.

7. 位置色差(longitudinal chromatic aberration)

同一種光學材料對不同波長的色光具有不同的折射率，這就導致了即使是同一孔徑，不同色光經光學系統後與光軸的交點也是不同的.整體看來，物點的像是一個彩色的彌散斑，各種顏色的光成像位置和大小都是不同的，這種差異就是色差(chromatic aberration).

對於這種差異的研究當然就要從位置和大小兩方面下手，本節先來討論位置色差，它是關於軸上點的.

位置色差也叫軸向色差，定義為軸上點F光( lambda=486.1nm )和C光( lambda=656.3nm )成像位置之差.即 Delta L』_{FC}=L_F』-L_C』 ，如下圖所示.

軸上點發出一束白光，經光學系統後，F光交於 A』_F 點，像距為 L』_F ，C光交於 A』_C 點，像距為 L』_C .

圖13

對於近軸區，也有 Delta l』_{FC}=l_F』-l_C』 .

顯然，由於球差的存在，對於不同孔徑，其位置色差也是不同的，甚至要說位置色差僅與孔徑有關，且符號不隨入射高度的符號改變而改變，所以其冪級數展開式為 Delta L』_{FC}=A_0+A_1h^2+A_2h^4+cdots.

其中 A_0 是初級位置色差，即近軸光的位置色差 Delta l_{FC}』 ，而第二項是二級位置色差，也叫做色球差，即 A_1h^2=A_{F1}h_1^2- A_{C1}h_1^2=delta L_F』-delta L_C』=delta L_{FC}』 .

下面來看初級色差分散式 delta l_{FC}』=-frac{1}{n_k』u_k』^2}sum C_Ⅰ .

其中 C_Ⅰ=luni(frac{Delta n』}{n』}-frac{Delta n}{n}) 是各面的初級位置色差分佈係數，當中的 Delta n』=n_F』-n_C』，Delta n=n_F-n_C.

特別地，對於單個薄透鏡，有如下分析.

C_Ⅰ=h^2frac{Phi}{ u}.

其中h是透鏡的半通光口徑， Phi 是透鏡的光焦度， u 是透鏡玻璃的阿貝數.

這說明，單個透鏡不能校正色差，單個正透鏡有負色差，單個負透鏡具有正色差，色差的大小與光焦度成正比，與阿貝數成反比，與結構形狀無直接關聯.

正負透鏡組合可以消色差，對於雙膠合薄透鏡組，消色差條件是 h^2left(frac{Phi_1}{ u_1}+frac{Phi_2}{ u_2} ight)=0 .通過整體光焦度 Phi=Phi_1+Phi_2 可以解出正負透鏡的光焦度分配： egin{cases}Phi_1=cfrac{ u_1Phi}{ u_1- u_2}\[2ex]Phi_2=-cfrac{ u_1Phi}{ u_1- u_2}end{cases} .

8. 倍率色差(lateral chromatic aberration)

倍率色差則是研究同一孔徑不同波長的光所成的像大小不同的差異，它是關於軸外點的.

倍率色差也稱垂軸色差，是指軸外物點所發出的F光和C光的主光線與理想像面焦點的高度差.即 Delta y_{FC}』=y_F』-y_C』 .如下圖所示

軸外物點B發出一束光，其中F光與理想像面交於 B_F』 點，像高為 y_F』 ，C光與理想像面交於 B_C』 點，像高為 y_C』 .

圖14

對於近軸光線的倍率色差有 Delta y_{FC}』=y_F』-y_C』 .

倍率色差是指像高的色差別，其冪級數展開式和畸變的形式相同，即 Delta y_{FC}』=A_1y+A_2y^3+A_3y^5+cdots ，這裡之所以含有像高的一次項是因為不同色光的理想像高本身就是不同的.

和以往一樣，一般只取前兩項即可.考慮到倍率色差的冪級數展開中高級倍率分量與畸變的展開式相同，因此也稱高級倍率色差為色畸變.例如 A_2y^3=delta y_{zF}』-delta y_{zC}』 .

下面看初級倍率色差分散式， Delta y_{FC}』=-frac{1}{n_k』u_k』}sum C_Ⅱ .

其中 C_Ⅱ=luni_z(frac{Delta n』}{n』}-frac{Delta n}{n})=C_Ⅰfrac{i_z}{i} 是各面的初級倍率色差分佈係數.

可以發現，對於單個折射球面，當光闌位於球面中心時不產生倍率色差.若物體在球面頂點時也不產生倍率色差.

9. 波像差(wave aberration)簡介

上述討論都是基於幾何光學的，雖然很直觀，但並不能很好地描述像質，對於高像質要求的系統，還要研究光波波面經過光學系統後的具體的變形才能更好地描述成像質量，由此引入波像差.

波像差是指當實際波面與理想波面在出瞳處相切時，兩波面之間的光程差.如下圖所示.

圖15

波像差用 W 表示，它雖然也是視場的函數，但對於軸上物點成像，單色光的波像差僅由球差引起，即只考慮它是孔徑的函數，它與球差的關係為 W=frac{n』}{2}int_0^{U_m』}delta L』du』^2.

對於無窮遠物點，則用 frac{h}{f』} 來代替 u』 ，即 W=frac{n』』}{2f』^2}int_0^{h_m}delta L』dh^2.

對於軸外點的描述更加複雜，這裡不再討論.

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