工程光学（八）——像差理论

前言

在前面的几何光学的介绍中已经提及过球差和像面弯曲等光学系统的缺陷，这些都是像差(aberration)的一部分，只是在计算时做了近似，忽略了缺陷.但实际光学系统与前面所说的理想光学系统的差异是不可忽略的，因此在做光学系统的设计时必须要考虑这些，想办法修正.

本文将系统地介绍各种像差及影响它们大小的因素.

1.概述

对于像差的描述主要有两套方法，其一是从几何光学的角度，根据光线到达像面时的缺陷情况进行分析，在这种意义下讨论的像差是几何像差.这将是本文主要介绍的

而波像差则直接考察实际波面与理想的球面波的差异.

在几何像差中，若只考虑单色光成像，则会出现五种不同的单色像差：

球差是轴上物点发出不同孔径角的光线在像方截距不同导致的，这种缺陷在孔径角较大时，即宽光束的情况下比较明显，因此归类为宽光束像差.
彗差是轴外物点发出对称于主光线的一束光在像方失去对称性而导致的，它显然也是宽光束像差，它同时受到孔径和视场的影响.
像散是轴外物点发出的一束光当中，子午光线和弧矢光线在像方会聚的点不一致导致的.这种缺陷在细光束就已经很明显，只是在细光束时的主要成因是视场；而宽光束时要同时考虑视场和孔径的影响.但通常所说的像散是指细光束像散.
场曲其实就是像面弯曲（像场弯曲），是轴外点的像差.在几何光学基础部分已经提到过，即使是平面物体，其像面也不是平面.显然这在细光束时已不可忽略，细光束的场曲主要成因在于视场，与孔径无关；宽光束时则不同，且比较复杂，本文不做介绍.通常所说的场曲也是指细光束场曲.
畸变是主光线的问题，在实际光学系统中，同一位置的垂轴放大率并不是常数，是和视场有关的，这种缺陷不影响像的清晰性，但会使像变形，它也是轴外点的像差，其严重程度仅受视场大小的影响.

而对于发出各种色光的物点成像，由于不同色光的折射率不同，在想面上也会有缺陷，这就是色差，它主要有两种：

位置色差是轴上物点发出的不同色光的像的沿轴位置不同导致的，其弥散斑会是彩色的圆形弥散斑.
倍率色差则是轴外物点发出的不同色光的像的放大率不同导致的，其弥散斑也是彩色的，但不是圆形.

$几何像差egin{cases}单色像差：&球差，彗差，像散，场曲，畸变\[2ex]色差：&位置色差，倍率色差end{cases}$

2. 球差(spherical aberration)

在几何光学部分中，对单个折射球面的轴上点物像关系的标准计算中，有公式 $L』=rleft(1+frac{sin I』}{sin U』} ight).$

其中是像方截距，是球面半径，是所考察光线的折射角，是所考察光线的像方孔径角.而实际上与一一对应，因此像方截距可以看成是的函数，即球面口径的函数.由于细光束(指很小的情况)的情况下球差很小，只有在宽光束时才很明显，因此是宽光束像差.

对于定量研究，当然就是看所做的近似和实际情况的差异，考虑之前所说的，标准的量用大写字母表示，近似的量用小写字母表示，对于球差的具体描述，如下图所示.

图1

在定量研究的时候，球差用来表示，定义为，如上图所示.

这样，实际像点并不在高斯像面(理想情况下的像面)上，那么物点在高斯像面上是一个圆形弥散斑，其半径用表示，这也是衡量球差的一种方法，称为垂轴球差.根据几何关系可以发现，垂轴球差与球差的关系是 .

对于球差的具体计算，既可以依照孔径角U，也可以依照入射高度h，其实和前面说的基于像方孔径角，折射角表示并没有本质区别，这里这样做是为了探究物方属性对球差的影响.

现在的问题是，难以将或写成显函数的解析式，但可以将它们展开成幂级数.注意到无论对于孔径角还是投射高度，其正负（其实就是对称与光轴的两个方向）是不影响球差正负的，因此在展开的时候是不存在奇次项的，因此有

$egin{cases}delta L』=A_1h^2+A_2h^4+A_3h^6+cdots\[2ex] delta L』=a_1U^2+a_2U^4+a_3U^6+cdotsend{cases}$

其中第一项称为初级球差，第二项称为二级球差，以此类推，其中的系数（或）根据其下标称为各级球差系数.

当然，上述的幂级数形式只能帮助定性判断球差的大小，并没有直接给出球差系数，而对于球差的定义式也只能计算某一孔径带上的球差值，而对于实际的光学系统，应该充分了解每个表面对球差的贡献的，这样才能在光学设计时更好的控制和校正球差.下面从最一般的情况触发，分析某一面的球差.如下图所示.

图2

假设对于图示的表面，其物方已经有球差，经过这个面后的球差为，经推导可得到

推导过程可参考《应用光学》-张以谟.

令，称为该面的初级球差分布系数，则有 $delta L』=frac{nusin U}{n』u』sin U』}delta L-frac{1}{2n』u』sin U』}S_-$

对于，还可改写为 $S_-=frac{niLsin U(sin I-sin I』)(sin I』-sin U)}{coscfrac{I-U}{2}coscfrac{I』+U}{2}coscfrac{I+I』}{2}}.$

这种形式可以更清楚完善地了解各项对球差的实际影响.对於单个折射球面，对实物成像，即的情况，根据上式可以判断出，即不产生球差的三种情况：

，即物位于球面顶点上，这时，也在球面顶点，此时无论多大都没有球差.
，这意味著，即，物点位于球心，这时该物点发出的所有的光都相当于正入射，其像也在球心，即，这是的垂轴放大率 $eta=frac{n}{n』}.$
，意味著，这时 $L=frac{r(n+n』)}{n}$ ， $L』=frac{r(n+n』)}{n』}$ ，且垂轴放大率 $eta=left(frac{n}{n』} ight)^2$ .说明物像都位于球心所在的一侧，且都在球心以外，显然物像虚实相反.此时还有 $frac{sin U』}{sin U}=frac{sin I}{sin I』}=frac{n』}{n}=frac{L}{L』}$ ，这说明在这个位置上，共轭点的物像孔径角之比，物距像距之比是常数，无论多大都不产生球差.

对于上述的第三种情况，不仅对轴上那个位置物点的任意宽光束成完善像，而且在其垂轴平面上较近的点也能对任一宽的光束成完善像.这一对共轭点称为不晕点或齐明点(aplanatic points).（这不是定义，在彗差部分会介绍齐明点的确切定义）

进一步地，对于具有个面组成的光学系统，直接给出球差分布公式. $delta L』=-frac{1}{2n_k』u_k』sin U_k』}sum S_-$ ，这里的是指各面的球差分布系数相加.

下面专门来说初级球差.对初级球差的研究只对光轴附近的区域有意义，这个区域很小，因此这个正弦值可以用弧度制代替，故上式可改写为 $egin{cases}delta L』_初=-cfrac{1}{2n_k』u_k』^2}sum S_Ⅰ\[2ex]S_Ⅰ=luni(i-i』)(i』-u)end{cases}$ 这种形式表示的仅是初级球差，而是指各面的初级球差的和.

值得一提的是，若以弥散斑衡量球差，除了之前所述的垂轴球差（弥散斑半径），还有一种说法就是横向球差（弥散斑直径），对于初级横向球差，通过公式可看出它正比于孔径的三次方.区别于初级球差正比于孔径的平方.

球差的校正

这里讨论透镜的球差，还记得在介绍平面系统部分提到过光楔，光楔的偏向角，其中是光楔的楔角.实际上，透镜可看作是由无数个不同楔角的光楔拼接而成的，显然越靠近边缘的楔角越大.

由此可见，对於单个的正透镜，越边缘的光线偏向角越大，这说明边缘光线的像距比近轴光线的像距小.因此单个正透镜产生负球差，同理单个负透镜产生正球差.

上述结论说明，在共轴球面系统中，对於单个透镜，它本身是无法校正球差的，而正负透镜的组合则可能通过相互补偿校正球差.

在实际设计光学系统时，常通过初级球差与高级球差相互补偿而抵消的手段，将边缘带的球差校正为零.

设想仅含初级和二级球差的光学系统，其球差为 .设其边缘高度为，那么为使，则应满足 .这时球差的极值点 $h=frac{1}{sqrt 2}h_m$ 处，一般近似认为在处，就说这里有最大剩余球差.

简单说，就是通过校正了边缘球差后，整个透镜上的球差的最大值在这个位置.如下图所示.

图3

最后要说的是一种特殊的透镜——齐明透镜，它是利用齐明点的特性制作的.如下图所示.

图4

回顾前面所说的无球差点的三种情况.物点位于第一个曲面的曲率中心，即满足无球差点的第2种情况，并同时对于第二个曲面满足无球差地按的第3种情况.

可通过计算得到，对于该点的垂轴放大率 .

还能得到 $sin U_3=frac{sin U_1}{eta}=frac{sin U_1}{n}.$

这说明，通过这种方法可以在不产生球差的情况下增加物点的孔径角.例如，则孔径角增大倍.齐明透镜常用于显微物镜或照明系统中.

3. 彗差(coma)

这里首先介绍即将要用到的，也是应用光学中常用的一对概念：子午面(meridian plane)和弧矢面(sagittal surface).

子午面是指由轴外物点和光轴所确定的平面.子午光线(meridian ray)指在子午面内的光线.
弧矢面是指包含上述物点主光线并与子午面垂直的面.弧矢光线(sagittal ray)指在弧矢面内的光线.

当然这个轴外物点是任取的，故二者的存在是依赖于某一轴外点的，并不是依赖于光学系统的.定义它们的动机主要是为了研究光学系统在一对相垂直的方向上的差异，二者是要配合使用的.这才是根本.

下面进入主题.

这部分主要讲的是对于轴外物点成像时，口径内其他光束失去对主光线的对称性导致的缺陷，如下图所示.

图5

在对彗差进行描述的时候，一般在子午面和弧矢面上分别考虑，即子午彗差 和弧矢彗差 .

首先考虑像差性质比较简单的近轴物点.当光学系统对轴上点成完善像时，使垂轴方向上与之无限靠近点物点也能成完善像的条件称为正弦条件(sine condition).根据费马原理可以推得正弦条件为 .

推导过程可参考《几何光学·像差·光学设计》-李晓彤,岑兆丰.

意思是说，当光学系统满足上述正弦条件时，若轴上点成完善像，则近轴物点也成完善像，即这个小区间内既不存在球差，整个光束又关于主光线对称，这种情况称为不晕成像.

特别地，当物点位于无限远时，正弦条件化为 $f』=frac{h}{sin U』}.$

而如果不满足正弦条件，那么其他光束对于主光线的对称性就出现了一些问题，为了描述这个问题还要结合球差来进行说明.

上述讨论的是轴上点和近轴点的完善像，但通过前面对球差的讨论可以知道，即使是轴上点，也不能完善成像的，同理，近轴的轴外点也有类似于球差的现象存在，也不能成完善像.

但是，如果非完善像的弥散斑很小，依然可以认为像质满足要求.在这种情况下，如果近轴的轴外点和轴上点的光束结构相同，其弥散斑与轴上点也是一样的，二者有相同的成像缺陷，这种情况叫做等晕成像(aplanatic image formation).

这时应该满足的条件叫做等晕条件(aplanatic condition).这是指 $frac{1}{eta}frac{n}{n』}frac{sin U}{sin U』}-1=frac{delta L』}{L』-l_z』}$ ，其中是出瞳距，是指出瞳到整个光学系统最后一个面的顶点的距离，是近轴区的垂轴放大率.

推导过程可参考《应用光学》-张以谟.

特别地，若物点位于无穷远，则等晕条件化为 $frac{h_1}{f』 an U』}-1=frac{delta L』}{L』-l_z』}.$

而如果不满足等晕条件，显然前式等号两端不想等，其差值定义为正弦差(off sine condition)，记作，即 $OSC』=frac{1}{eta}frac{n}{n』}frac{sin U}{sin U』}-frac{delta L』}{L』-l_z』}-1.$ 同样地，若物点位于无穷远，则正弦差为 $OSC』=frac{h_1}{f』 an U』}-frac{delta L』}{L』-l_z』}-1.$

出现正弦差就说明轴外点和轴上点成像有了区别，这个区别就来自于其他光线相对主光线的不对称性.

下面考察正弦条件和等晕条件的关系.

在满足等晕条件的情况下，即时，球差可能存在也可能不存在，即既可以为零也可以不为零，若球差为零时，又有，这说明正弦条件是等晕条件的特殊情况，即忽略球差的情况.其实这一点在介绍等晕的定义时已经能看出端倪.

对于初级正弦差分散式，有 $OSC』=frac{1}{2J}sum S_Ⅱ.$

其中是拉赫不变数.

$S_Ⅱ=luni_z(i-i』)(i』-u)=S_Ⅰfrac{i_z}{i}$ ，它是各面的初级彗差分布系数.其中的是指主光线的入射角，它显然和光阑位置有关.

通过初级正弦差分散式可得到不产生正弦差的4种条件：

，这时光阑位于球面曲率中心.
，这时物点位于球面顶点.
，这时物点位于球面曲率中心.
，这时物点在 $L=frac{(n』+n)r}{n}$ 处.

回顾前面说的不产生球差的条件，可以发现那三个位置同时也没有正弦差，满足了正弦条件.齐明点或不晕点的定义其实就是校正了球差并满足正弦条件的共轭点.

以上的讨论是关于近轴的轴外点与轴上点在成像时是否会有差异，下面开始讨论更一般的轴外点的情况以及本节的主题——彗差.

其实和近轴的轴外点一样，只要光学系统不满足等晕条件，轴外点就会产生彗差.彗差的确切定义如下图所示.

图6

上图表示的是子午彗差.

为垂轴物点，主要观察轴外点的子午彗差，其理想像面位置在处.

指的分别是上光线、主光线、下光线，其中上光线和下光线交于距理想像面前的点所在的垂轴面上的点，主光线交这个面于点.但在高斯像面上，上光线投射到点，高度为，下光线投射到点，高度为，主光线投射到点，高度为

定义子午彗差为 $K_t』=frac{(y_a』+y_b』)}{2}-y_z』$ .

同理定义弧矢彗差，如下图所示.

图7

弧矢面与理想像面的交线显然是等高的，这个高度与主光线的高度的差值即使弧矢彗差，即 .

注意：

弧矢面的定义中，所谓的包含主光线指的是在物方的包含主光线，在经过几个折射面后，弧矢面依然由初始的弧矢光线对的后续追迹所确定(例如图中的两条光线)，而不是再重新以主光线为基准找光线对.否则在理想像面上，包含主光线且垂直于子午面的平面与理想像面的交线与主光线与理想像面的焦点等高.这是容易产生歧义一点.

可见不同位置的光束交于不同的点，形成不同的弥散斑，如前图所示，其中子午光线的焦点在弥散斑的最上方，而弧矢光线的焦点位于最下方，其余点对应其它的焦点.孔径越大则弥散斑越大，就这样综合起来形成了彗星状的弥散斑，故称彗差.

显然，彗差是宽光束的像差，是孔径和视场的函数，它与正弦差的区别主要在于所考察的轴外点的位置，正弦差要求轴外点紧邻光轴，而彗差所研究的则是一般的轴外点.因此说，正弦差只是孔径的函数，而不是视场的函数.

不难发现，彗差是孔径的偶函数（孔径改变符号时，彗差符号不变），但是是视场的奇函数，因此地将(子午)彗差展开成幂函数，应该是

其中第一项为初级彗差，第二项为孔径二级彗差，第三项为视场二级彗差.

对于大孔径且小视场的光学系统，其彗差主要由前两项决定，而如果对于小孔径大视场的光学系统，彗差主要由一三项决定.

下面看初级彗差彗差分散式.

对于初级子午彗差有 $K_t』=-frac{3}{2n_k』u_k』}sum S_Ⅱ$

对于初级弧矢彗差有 $K_s=-frac{1}{2n_k』u_k』}sum S_Ⅱ$

首先可以发现初级子午彗差是初级弧矢彗差的三倍，不止如此，实际上弧矢彗差总是比子午彗差小.

另外，对于不产生彗差的条件，在正弦差那里已经讨论过了，那时就是根据初级彗差分布系数判断的，这里的情况一样.

4. 像散(astigmatism)

像散本质上也是由光束不对称性造成的，彗差所研究的是不对称性相对于主光线的，而像散所说的是其他光线之间的，这在细光束的情况下就有所显现.如下图所示.

图8

对于有像散的光学系统，使点光源以细光束成像，在像方用垂轴的屏幕去承接像，若使屏幕沿轴移动，则所成的像会随像面的位置变化：

位置1呈现椭圆形的像，其长轴垂直于子午面；
位置2则是垂直于子午面的短线；
位置3又成了长轴垂直于子午面的椭圆；
位置4形成圆形光斑；
位置5形成长轴在子午面内的椭圆；
位置6则是子午面内的短线；
位置7又变成长轴在子午面内的椭圆.

对于上述情况，称短线为子午像，短线为弧矢像.那么沿光轴的距离就是像散.记作 $x_{ts}』$ ，即 $x_{ts}』=l_t』-l_s』$ ，如下图所示.

图9

对于细光束而言，像散只受视场大小的影响，且是视场的偶函数.而对于宽光束而言，像散和视场、孔径都有关，显然这时它也是视场的偶函数.

初级像散分散式为 $x_{ts}』=-frac{1}{n_k』u_k』^2}sum S_{Ⅲ}$

其中 $S_Ⅲ=luni(i-i』)(i』-u)left(frac{i_z}{i} ight)^2=S_Ⅰleft(frac{i_z}{i} ight)^2.$ 是各面上的初级像散分布系数.其中是主光线的入射角.

由此可见，对於单个折射球面，在齐明点处和光阑（位于球心时）位置处也不存在像散.

5. 场曲(field curvature)

场曲就是像面弯曲，在前面几何光学部分介绍单个折射球面时已经说过，这是折射球面的固有特性.

同样地，场曲也分为子午场曲和弧矢场曲，其定义如下图所示.

图10

点B的子午光线对相交于，弧矢光线对相较于，理想像面的位置在处.

子午场曲定义为，弧矢场曲定义为 .

显然场曲和像散的关系就是 $x_{ts}』=x_t』-x_s』$ .初级场曲的分散式如下.

初级子午场曲分散式为 $x_t』=-frac{1}{2n_k』u_k』^2}sum(3S_Ⅲ+S_Ⅳ )$

初级弧矢场曲分散式为 $x_s』=-frac{1}{2n_k』u_k』^2}sum(S_Ⅲ+S_Ⅳ )$

其中 $S_Ⅳ=frac{J^2(n』-n)}{nn』r}$ ，是各面的初级场曲分布系数，当中的是该面的拉赫不变数.

这说明，场曲并不是由像散所引起，即使像散为零，场曲依然可以存在，即使中心视场调节到清晰，边缘视场依然模糊.

特别地，当像散为零时，场曲用表示，称为匹兹凡场曲(Petzval field curvature).

6. 畸变(distortion)

回顾之前说过的理想光学系统的垂轴放大率，当时是说在一对共轭面上是常数，但对于实际的光学系统，这一点只在视场较小的情况下才使用，对于较大的视场则不是常数，这样就使物像失去了相似性，这种缺陷称为畸变.

实际上，畸变是不影响像的清晰度的，只是会使像变形，可以看作是由主光线引起的问题.

设某一视场的实际主光线与理想像面的交点的高度为，且其理想像高为，则畸变定义为，如下图所示.

图11

显然畸变是受到光阑位置影响的，且对光阑位置变化十分敏感.对于上图这种情况，畸变小于零，称为负畸变，而如果光阑位于透镜之后，则会产生正畸变.

对于正负畸变在像面上的现象如下图所示.

图12

实际上，在光学设计中，畸变通常用相对畸变 来表示，即 $q』=frac{delta y_z』}{y』} imes 100\%.$

如果设实际垂轴放大率 $areta=frac{y_z』}{y}$ ，则相对畸变还可写成 $q』=frac{areta-eta}{eta} imes 100\%.$

不难发现，畸变是视场的奇函数，若展开成幂级数形式则只有奇次项，即之所以没有的一次项，是因为一次项表示理想像高.

最后来说初级畸变分散式， $delta y_z』=-frac{1}{2n_k』u_k』}sum S_Ⅴ$ .

其中，是各面的初级畸变分布系数.当中的是指入瞳到光学系统第一个面的距离，是指主光线到该面的折射角，和分别指主光线对于这个面的物像方孔径角.

还能发现 $S_Ⅴ=(S_Ⅲ+S_Ⅳ )frac{i_z}{i}.$ 这说明，对於单个折射面，若孔径光阑与球心重合，则不产生畸变.

通过分布系数的两部分还能发现影响畸变的两个因素：光阑位置的正弦差和角倍率.

意思就是说，若要消除畸变，不但要满足光阑位置的正弦条件，还要满足角倍率的正切条件 .

这说明，要消除畸变是很难的，因为正切条件和正弦条件是不能同时满足的.

但一般来说，相对畸变 $q』leqslant4\%$ 时，人眼就感觉不出像的变形.但对于用来测量的光学系统，畸变要求小到万分之几，不过一般的测量仪器的视场较小，并不难满足.而对于航空测量的物镜，视场角会有，畸变要求小到十万分之几，因此为了达到要求，镜头的结构极其复杂.

特别地，对于的对称光学系统，其光阑位于系统中间，其前部和后部光学系统的畸变大小相等方向相反，畸变就自动校正了.

7. 位置色差(longitudinal chromatic aberration)

同一种光学材料对不同波长的色光具有不同的折射率，这就导致了即使是同一孔径，不同色光经光学系统后与光轴的交点也是不同的.整体看来，物点的像是一个彩色的弥散斑，各种颜色的光成像位置和大小都是不同的，这种差异就是色差(chromatic aberration).

对于这种差异的研究当然就要从位置和大小两方面下手，本节先来讨论位置色差，它是关于轴上点的.

位置色差也叫轴向色差，定义为轴上点F光( )和C光( )成像位置之差.即 $Delta L』_{FC}=L_F』-L_C』$ ，如下图所示.

轴上点发出一束白光，经光学系统后，F光交于点，像距为，C光交于点，像距为 .

图13

对于近轴区，也有 $Delta l』_{FC}=l_F』-l_C』$ .

显然，由于球差的存在，对于不同孔径，其位置色差也是不同的，甚至要说位置色差仅与孔径有关，且符号不随入射高度的符号改变而改变，所以其幂级数展开式为 $Delta L』_{FC}=A_0+A_1h^2+A_2h^4+cdots.$

其中是初级位置色差，即近轴光的位置色差 $Delta l_{FC}』$ ，而第二项是二级位置色差，也叫做色球差，即 $A_1h^2=A_{F1}h_1^2- A_{C1}h_1^2=delta L_F』-delta L_C』=delta L_{FC}』$ .

下面来看初级色差分散式 $delta l_{FC}』=-frac{1}{n_k』u_k』^2}sum C_Ⅰ$ .

其中 $C_Ⅰ=luni(frac{Delta n』}{n』}-frac{Delta n}{n})$ 是各面的初级位置色差分布系数，当中的

特别地，对於单个薄透镜，有如下分析.

$C_Ⅰ=h^2frac{Phi}{ u}.$

其中h是透镜的半通光口径，是透镜的光焦度，是透镜玻璃的阿贝数.

这说明，单个透镜不能校正色差，单个正透镜有负色差，单个负透镜具有正色差，色差的大小与光焦度成正比，与阿贝数成反比，与结构形状无直接关联.

正负透镜组合可以消色差，对于双胶合薄透镜组，消色差条件是 $h^2left(frac{Phi_1}{ u_1}+frac{Phi_2}{ u_2} ight)=0$ .通过整体光焦度可以解出正负透镜的光焦度分配： $egin{cases}Phi_1=cfrac{ u_1Phi}{ u_1- u_2}\[2ex]Phi_2=-cfrac{ u_1Phi}{ u_1- u_2}end{cases}$ .