Kuratowski 閉包-補集問題

http://web.math.ku.dk/~moller/e02/3gt/opg/S17.pdf

問題描述：設為一拓撲空間，考慮兩種在上的操作，閉包 $A^-:Amapstooverline{A}$ 和補集，則最多有種不同的集合可從的以子集通過以上操作的重複應用得到。

注意到閉包操作是冪等的： $A^{--}=A^-$ ；補集操作是對合的： $A^{cc}=A$ 。定義序列 ${A_n}$ 和 ${B_n}$ ，其中，；對於 $ninmathbb{Z}_+$ ，定義 $A_{2n}=A_{2n-1}^-$ ， $A_{2n+1}=A_{2n}^c$ 和 $B_{2n}=B_{2n-1}^-$ ， $B_{2n+1}=B_{2n}^c$ 。此時注意到所有通過從集合重複應用閉包和補集操作獲得的集合一定是序列 ${A_n}$ 或序列 ${B_n}$ 的元素。

證明引理：如有拓撲空間的子集，的內部 $A^circ=A^{c-c}$ 。

根據閉包的定義， $A^csubset A^{c-}$ ；因為，則 $A^{c-c}subset A^{cc}=A$ 。 $A^{c-c}$ 是開集，的內部是所有的開子集的並集，所以 $A^{c-c}subset A^circ$ ；

根據內部的定義，，則 $A^csubset A^{circ c}$ ，並且 $A^{c-c}$ 是閉集，的閉包 $A^{c-}$ 是所有包含的閉集的交集，所以 $A^{c-}subset A^{circ c}$ ， $A^circ=A^{circ cc}subset A^{c-c}$ 。 $A^circ=A^{c-c}$ ，證畢。